Exercício 6.104 Considere a matriz simétrica dada por:
Determine uma matriz ortogonal Q in M3(R) e uma matriz diagonal Lambda in M3(R) tais que A=Q Lambda Q^t. A matriz A é positiva-definida?
Passo 1
O enunciado nos dá a matriz simétrica
A= 1 & 0 & 2 0 & 1 & 0 2 & 0 & 1
e pede uma fatoração espectral A=QLambda Q^t, em que Q é ortogonal e Lambda é diagonal. Vamos usar o Teorema Espectral para matrizes simétricas: basta achar autovalores e autovetores ortonormais de A. Também perguntam se A é positiva-definida, o que equivale a todos os autovalores serem positivos.
Passo 2
Calculamos o polinômio característico det(A-lambda I). Como a linha e coluna do meio isolam-se, vemos que
o bloco em 1,3times1,3 é 1-lambda&22&1-lambda e o valor na posição (2,2) é 1-lambda. Então
Uma matriz simétrica é positiva-definida se, e somente se, todos os seus autovalores forem positivos. Aqui temos lambda3=-1<0. Portanto, Anão é positiva-definida.