Exercício 6.100 Seja
anti-simétrica. Mostre que as matriz
são invertíveis e que a matriz
é uma matriz ortogonal.
Passo 1
O enunciado diz que
é anti-simétrica, ou seja
Precisamos mostrar que as matrizes
e
são invertíveis e que
é ortogonal, isto é, que
.
Passo 2
Primeiro vamos provar que
é invertível mostrando que seu núcleo é trivial. Se existir
tal que
então
Mas
e como
é anti-simétrica temos
Logo
Assim
, e
é invertível. O mesmo argumento vale para
.
Passo 3
Definimos
Vamos calcular sua transposta. Usamos
e
, obtendo
Passo 4
Agora calculamos
:
Note que
e que
Logo
Isso mostra que
é ortogonal.
Resposta
As matrizes
e
são invertíveis, e
é ortogonal, pois satisfaz
.