Exercício 6.100 Seja A in Mn(R) anti-simétrica. Mostre que as matriz I-A e I+A são invertíveis e que a matriz (I-A)(I+A)^-1 é uma matriz ortogonal.

Passo 1

O enunciado diz que Ain Mn(R) é anti-simétrica, ou seja
A^T = -A
Precisamos mostrar que as matrizes I-A e I+A são invertíveis e que
Q ;=;(I - A),(I + A)^-1
é ortogonal, isto é, que Q^T Q = I.

Passo 2

Primeiro vamos provar que I + A é invertível mostrando que seu núcleo é trivial. Se existir vinR^n tal que
(I + A),v = 0,
então
v + A v = 0 Longrightarrow v^T(v + A v)=0
Mas
v^T(v + A v) = v^T v + v^T A v,
e como A é anti-simétrica temos
v^T A v = (v^T A v)^T = v^T A^T v = -v^T A v ;Longrightarrow; v^T A v = 0
Logo
v^T v = 0 ;Longrightarrow; v = 0
Assim ker(I+A)=0, e I+A é invertível. O mesmo argumento vale para I-A.

Passo 3

Definimos
Q = (I - A)(I + A)^-1
Vamos calcular sua transposta. Usamos l[(I+A)^-1r]^T=(I+A)^-T e (I-A)^T=I+A, obtendo
Q^T = l((I + A)^-1r)^T,(I - A)^T = (I + A)^-T,(I + A)

Passo 4

Agora calculamos Q^T Q:
Q^T Q = (I + A)^-T,(I + A),(I - A),(I + A)^-1
Note que
(I + A)^-T = l((I + A)^Tr)^-1 = (I - A)^-1,
e que
(I + A),(I - A) = I - A^2 = (I - A),(I + A)
Logo
Q^T Q = (I - A)^-1,(I + A)(I - A),(I + A)^-1 = (I - A)^-1,(I - A),(I + A),(I + A)^-1 = I
Isso mostra que Q é ortogonal.

Resposta

As matrizes I-A e I+A são invertíveis, e
Q = (I - A)(I + A)^-1
é ortogonal, pois satisfaz Q^T Q = I.

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