Exercício 6.91 Sejam um espaço vetorial complexo munido do produto interno e um operador anti-Hermitiano sobre . Mostre que é imaginário puro para todo .
Passo 1
O enunciado diz que é um espaço vetorial complexo com produto interno e que é anti-Hermitiano, isto é, seu adjunto satisfaz
Queremos mostrar que, para todo , é um número imaginário puro (ou seja, sua parte real é zero).
Passo 2
Usamos a definição de adjunto: para quaisquer ,
Escolhendo , obtemos
Passo 3
Como , substituímos na identidade acima:
Passo 4
Agora usamos a simetria conjugada do produto interno, que diz
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lang<= T(u),urang<= = -,lang<= T(u),urang<=
Passo 5
Seja z=lang<= T(u),urang<=. A equação acima é
z = -,z Longrightarrow z + z = 0 Longrightarrow 2,Re(z)=0 Longrightarrow Re(z)=0
Isto mostra exatamente que z é puramente imaginário.
Resposta
Para todo uin V, lang<= T(u),urang<= é imaginário puro.
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Petronio Pulino - Álgebra Linear e suas Aplicações - 1ª Edição - Capítulo 6.6.7 - Ex. 6.91