Exercício 6.91 Sejam V um espaço vetorial complexo munido do produto interno lang<=cdot, cdotrang<= e T um operador anti-Hermitiano sobre V. Mostre que lang<= T(u), urang<= é imaginário puro para todo u in V.

Passo 1

O enunciado diz que V é um espaço vetorial complexo com produto interno lang<=cdot,cdotrang<= e que Tcolon Vto V é anti-Hermitiano, isto é, seu adjunto satisfaz
T^* = -,T
Queremos mostrar que, para todo uin V,
lang<= T(u),urang<= é um número imaginário puro (ou seja, sua parte real é zero).

Passo 2

Usamos a definição de adjunto: para quaisquer u,vin V,
lang<= T(u),vrang<= = lang<= u,,T^*(v)rang<=
Escolhendo v=u, obtemos
lang<= T(u),urang<= = lang<= u,,T^*(u)rang<=

Passo 3

Como T^*=-T, substituímos na identidade acima:
lang<= T(u),urang<= = lang<= u,,-T(u)rang<= = -,lang<= u,,T(u)rang<=

Passo 4

Agora usamos a simetria conjugada do produto interno, que diz
lang<= u,,T(u)rang<= = lang<= T(u),urang<=
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lang<= T(u),urang<= = -,lang<= T(u),urang<=

Passo 5

Seja z=lang<= T(u),urang<=. A equação acima é
z = -,z Longrightarrow z + z = 0 Longrightarrow 2,Re(z)=0 Longrightarrow Re(z)=0
Isto mostra exatamente que z é puramente imaginário.

Resposta

Para todo uin V, lang<= T(u),urang<= é imaginário puro.

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