Exercício 6.99 Considere a seguinte matriz simétrica
A=[rrr -4 & -1 & 2 -1 & -1 & -1 2 & -1 & -4 ]
Determine os autovalores e os autovetores da matriz A.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os autovalores e autovetores da matriz simétrica
A = -4 & -1 & 2 -1 & -1 & -1 2 & -1 & -4
O conteúdo é cálculo de autovalores via polinômio característico det(A - lambda I)=0 e, em seguida, solução de sistemas lineares (A - lambda I)v=0 para cada lambda.

Passo 2

Escrevemos o polinômio característico
det(A - lambda I) = det -4-lambda & -1 & 2 -1 & -1-lambda & -1 2 & -1 & -4-lambda
Fazendo a expansão e simplificando, chega-se a
det(A - lambda I) = -lambda,(lambda^2 + 9lambda + 18)

Passo 3

Resolvendo
-lambda,(lambda^2 + 9lambda + 18)=0
temos as raízes
lambda1 = 0, lambda2 = -9+32 = -3, lambda3 = -9-32 = -6

Passo 4

Para
Da segunda equação e . Um autovetor correspondente é

Passo 5

Para resolvemos , i.e.
Dessa forma chega-se a e . Um autovetor fica

Passo 6

Para resolvemos , i.e.
Dessa forma obtém-se e . Um autovetor é

Resposta

Autovalores: lambda=0,,-3,,-6.
Autovetores correspondentes:
lambda=0:;(1,,-2,,1), lambda=-3:;(1,,1,,1), lambda=-6:;(-1,,0,,1)

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