Exercício 6.98 Determine a solução do seguinte sistema dinâmico
x^prime(t)=-5 x(t) & y^prime(t)= & -4 y(t)+3 z(t) z^prime(t)= & +3 y(t)-4 z(t)
com a condição inicial
[l x(0) y(0) z(0) ]=[l 4 5 6 ]

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema linear
x'(t)=-5x(t), y'(t)=-4y(t)+3z(t), z'(t)=3y(t)-4z(t),
com condição inicial l(x(0),y(0),z(0)r)=(4,5,6).
A equação de x está desacoplada e resolve-se por integração direta, enquanto o par (y,z) forma um subsistema 2times2 que vamos resolver por diagonalização (autovalores e autovetores).

Passo 2

Resolvendo
x'(t)=-5x(t), x(0)=4,
é uma EDO linear de coeficiente constante. A solução é
x(t)=4e^-5t

Passo 3

Para o subsistema em escrevemos
Os autovalores satisfazem

Passo 4

Buscando autovetores:
Para lambda=-1:
(-4+1)y+3z=0implies -3y+3z=0implies y=z,
autovetor v1=(1,1).
Para lambda=-7:
(-4+7)y+3z=0implies 3y+3z=0implies y=-z,
autovetor v2=(1,-1).

Passo 5

A solução geral do subsistema é

Passo 6

Impondo y(0)=5 e z(0)=6 obtemos
C1+C2=5, C1-C2=6 Longrightarrow C1=112,;C2=-12

Resposta

x(t)=4e^-5t, y(t)=112e^-t-12e^-7t, z(t)=112e^-t+12e^-7t

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