Exercício 6.107 Sejam A in Mn(R) uma matriz positiva-definida e Q in Mn(R) uma matriz ortogonal. Mostre que a matriz C=Q A Q^t é uma matriz positiva-definida.

Passo 1

O enunciado afirma que Ain Mn(R) é positiva-definida e Qin Mn(R) é ortogonal, e pede para mostrar que
C = Q,A,Q^T
é positiva-definida. Vamos usar a definição: uma matriz M é positiva-definida se, e somente se, para todo xneq0,
x^T M x > 0

Passo 2

Seja xinR^n com xneq0. Calculamos
x^T C x ;=; x^Tl(Q,A,Q^Tr)x

Passo 3

Como produto de matrizes é associativo,
x^T C x = l(x^T Qr),A,l(Q^T xr)
Defina y = Q^T x. Como Q é ortogonal, Q^T = Q^-1 é invertível, logo
xneq0 Long<=ftrightarrow yneq0

Passo 4

Pelo fato de A ser positiva-definida, temos
y^T A y > 0
sempre que yneq0. Portanto
x^T C x = y^T A y > 0

Passo 5

Acabamos de mostrar que, para todo xneq0, vale x^T C x>0. Isso coincide com a definição de matriz positiva-definida.

Resposta

A matriz C = Q A Q^T é positiva-definida.

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