Exercício 6.107 Sejam
uma matriz positiva-definida e
uma matriz ortogonal. Mostre que a matriz
é uma matriz positiva-definida.
Passo 1
O enunciado afirma que
é positiva-definida e
é ortogonal, e pede para mostrar que
é positiva-definida. Vamos usar a definição: uma matriz
é positiva-definida se, e somente se, para todo
,
Passo 2
Seja
com
. Calculamos
Passo 3
Como produto de matrizes é associativo,
Defina
. Como
é ortogonal,
é invertível, logo
Passo 4
Pelo fato de
ser positiva-definida, temos
sempre que
. Portanto
Passo 5
Acabamos de mostrar que, para todo
, vale
. Isso coincide com a definição de matriz positiva-definida.
Resposta
A matriz
é positiva-definida.