Exercício 6.93 Sejam um espaço vetorial complexo munido do produto interno um operador positivo sobre . Mostre que a aplicação
define um produto interno no espaço vetorial complexo .
Passo 1
O enunciado diz que é um espaço vetorial complexo com produto interno original e que é um operador positivo, isto é, . é auto-adjunto:
para todos . . sempre que .
Queremos mostrar que
é um produto interno em . Para isso precisamos verificar:
a) é sesquilinear (linear em e conjugado-linear em ),
b) (conjugado-simetria),
c) p(u,u)>0 para todo uneq0 (positividade definida).
Passo 2
Mostramos a sesquilinearidade. Seja alpha,betainC e u1,u2,v1,v2in V. Usando a linearidade de T e as propriedades do produto interno original: