Exercício 6.93 Sejam V um espaço vetorial complexo munido do produto interno lang<=cdot, cdotrang<= e T um operador positivo sobre V. Mostre que a aplicação
p: V times V & longrightarrow C (u, v) & longrightarrow p(u, v)=lang<= T(u), vrang<=
define um produto interno no espaço vetorial complexo V.

Passo 1

O enunciado diz que V é um espaço vetorial complexo com produto interno original lang<=cdot,cdotrang<= e que T:Vto V é um operador positivo, isto é,
1. T é auto-adjunto:
lang<= T(u),vrang<= = lang<= u, T(v)rang<=
para todos u,vin V.
2. lang<= T(u),urang<=>0 sempre que uneq0.
Queremos mostrar que
p:Vtimes VlongrightarrowC, p(u,v)=lang<= T(u),vrang<=
é um produto interno em V. Para isso precisamos verificar:
a) p é sesquilinear (linear em u e conjugado-linear em v),
b) p(v,u)=p(u,v) (conjugado-simetria),
c) p(u,u)>0 para todo uneq0 (positividade definida).

Passo 2

Mostramos a sesquilinearidade. Seja alpha,betainC e u1,u2,v1,v2in V. Usando a linearidade de T e as propriedades do produto interno original:
p(alpha u1+beta u2,;v) =lang<= T(alpha u1+beta u2),vrang<= =alphalang<= T(u1),vrang<=+betalang<= T(u2),vrang<= =alpha,p(u1,v)+beta,p(u2,v),
ou seja, é linear em u.
E
p(u,;alpha v1+beta v2) =lang<= T(u),alpha v1+beta v2rang<= =alpha,lang<= T(u),v1rang<=+beta,lang<= T(u),v2rang<= =alpha,p(u,v1)+beta,p(u,v2),
ou seja, é conjugado-linear em v.

Passo 3

Mostramos a conjugado-simetria. Para todo u,vin V,
p(v,u)=lang<= T(v),urang<= stackrelT=T^*=lang<= v,T(u)rang<= =lang<= T(u),vrang<= =p(u,v)

Passo 4

Mostramos a positividade definida. Para uneq0, como T é positivo,
p(u,u)=lang<= T(u),urang<=>0
Se u=0, então claramente p(0,0)=lang<= T(0),0rang<==0.

Resposta

A forma bilinear p(u,v)=lang<= T(u),vrang<= satisfaz sesquilinearidade, conjugado-simetria e p(u,u)>0 para uneq0. Logo p é um produto interno em V.

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