Exercício 6.110 Seja
, com
e posto
. Mostre que a matriz simétrica
, de ordem
, definida da seguinte forma:
é uma matriz indefinida.
Passo 1
O enunciado dá uma matriz
com
e posto
. Define-se a matriz simétrica de ordem
e pede-se mostrar que
é indefinida. O conteúdo aqui é análise de formas quadráticas associadas a matrizes simétricas: uma matriz é indefinida se sua forma quadrática assume valores positivos e negativos.
Passo 2
Escrevamos um vetor genérico
particionado como
onde
e
. A forma quadrática associada a
é
Passo 3
Fazendo as multiplicações em bloco, obtemos
Como
é escalar, vale
. Logo
Passo 4
Como
, existe algum
tal que
Escolhendo
, tem-se
ou seja, a forma quadrática assume valor positivo. Se agora escolhermos
, então
obtendo valor negativo.
Resposta
A forma quadrática de
assume valores positivos e negativos; portanto,
é indefinida.