Exercício 6.110 Seja B in Mm times n(R), com m <= n e posto (B)=m. Mostre que a matriz simétrica H, de ordem n+m, definida da seguinte forma:
H=[ll 0n & B^t B & 0m ]
é uma matriz indefinida.

Passo 1

O enunciado dá uma matriz Bin Mmtimes n(R) com m<= n e posto (B)=m. Define-se a matriz simétrica de ordem n+m
H= 0n & B^t B & 0m
e pede-se mostrar que H é indefinida. O conteúdo aqui é análise de formas quadráticas associadas a matrizes simétricas: uma matriz é indefinida se sua forma quadrática assume valores positivos e negativos.

Passo 2

Escrevamos um vetor genérico particionado como
onde e . A forma quadrática associada a é

Passo 3

Fazendo as multiplicações em bloco, obtemos
x^T H,x = u^T,0,u + u^T B^T v + v^T B,u + v^T,0,v = u^T B^T v + v^T B,u
Como u^T B^T v é escalar, vale u^T B^T v = (v^T B u). Logo
x^T H,x = 2,v^T B,u

Passo 4

Como posto(B)=m, existe algum uinR^n tal que
w = B,u neq 0inR^m
Escolhendo v = w, tem-se
x^T H,x = 2,w^T w > 0,
ou seja, a forma quadrática assume valor positivo. Se agora escolhermos v=-w, então
x^T H,x = 2,(-w)^T w = -2,w^T w < 0,
obtendo valor negativo.

Resposta

A forma quadrática de H assume valores positivos e negativos; portanto, H é indefinida.

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