Exercício 6.95 Seja
positiva-definida. Mostre que
é positivo.
Passo 1
O enunciado diz que
é positiva-definida, ou seja,
Queremos mostrar que
é positivo. Para isso, vamos usar o teorema espectral para matrizes simétricas e a relação entre determinante e valores-próprios.
Passo 2
Por definição de matriz positiva-definida,
é necessariamente simétrica. Pelo teorema espectral, existe matriz ortogonal
(ou seja,
) e matriz diagonal
tal que
Passo 3
Para ver que cada autovalor
é positivo, tome o vetor padrão
e defina
. Como
é invertível,
. Então
Mas
é positiva-definida, logo
. Concluímos
para todo
.
Passo 4
Usando a fatoração
e as propriedades do determinante, temos
Como
é ortogonal,
, logo
. E
que é positivo porque cada
. Portanto
.