Exercício 6.95 Seja A in Mn(R) positiva-definida. Mostre que det(A) é positivo.

Passo 1

O enunciado diz que Ain Mn(R) é positiva-definida, ou seja,
x^TAx>0para todo xneq0
Queremos mostrar que det(A) é positivo. Para isso, vamos usar o teorema espectral para matrizes simétricas e a relação entre determinante e valores-próprios.

Passo 2

Por definição de matriz positiva-definida, A é necessariamente simétrica. Pelo teorema espectral, existe matriz ortogonal P (ou seja, P^-1=P^T) e matriz diagonal
D=diag(lambda1,dots,lambdan)
tal que
A = P,D,P^T

Passo 3

Para ver que cada autovalor lambdai é positivo, tome o vetor padrão ei e defina y = P,ei. Como P é invertível, yneq0. Então
y^TAy ;=; y^T(PDP^T)y ;=;(P^Ty)^TD,(P^Ty) ;=;ei^TD,ei ;=;lambdai
Mas A é positiva-definida, logo y^TAy>0. Concluímos lambdai>0 para todo i.

Passo 4

Usando a fatoração A=P,D,P^T e as propriedades do determinante, temos
det(A) =det(P),det(D),det(P^T) =(det(P))^2,det(D)
Como P é ortogonal, |det(P)|=1, logo (det(P))^2=1. E
det(D) =prodi=1^nlambdai,
que é positivo porque cada lambdai>0. Portanto det(A)>0.

Resposta

det(A)>0

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