Exercício 6.109 Seja B in Mn(R) uma matriz invertível. Mostre que a matriz simétrica H, de ordem 2 n, definida da seguinte forma:
H=[ll 0n & B^t B & 0n ]
é uma matriz indefinida.

Passo 1

O enunciado dá uma matriz invertível BinMn(R) e define a matriz simétrica de ordem 2n
H = 0n & B^t B & 0n
Queremos mostrar que H é indefinida, ou seja, que existem vetores x tais que a forma quadrática x^tHx é positiva e outros em que ela é negativa.

Passo 2

Seja
Então

Passo 3

Como B é invertível, existe B^-t=(B^t)^-1. Se escolhermos
u = B^-tv,
então
x^tHx = 2,v^tBl(B^-tvr) = 2,v^tv = 2|v|^2,
que é positivo sempre que vneq0.

Passo 4

Análogo: escolhendo
u = -,B^-tv,
temos
x^tHx = -2,v^tv = -2|v|^2,
que é negativo para vneq0.

Passo 5

Encontramos vetores que tornam x^tHx tanto positiva quanto negativa. Logo, por definição, H é uma matriz indefinida.

Resposta

A matriz H é indefinida.

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