Exercício 6.109 Seja
uma matriz invertível. Mostre que a matriz simétrica
, de ordem
, definida da seguinte forma:
é uma matriz indefinida.
Passo 1
O enunciado dá uma matriz invertível
e define a matriz simétrica de ordem
Queremos mostrar que
é indefinida, ou seja, que existem vetores
tais que a forma quadrática
é positiva e outros em que ela é negativa.
Passo 2
Seja
Então
Passo 3
Como
é invertível, existe
. Se escolhermos
então
que é positivo sempre que
.
Passo 4
Análogo: escolhendo
temos
que é negativo para
.
Passo 5
Encontramos vetores que tornam
tanto positiva quanto negativa. Logo, por definição,
é uma matriz indefinida.
Resposta
A matriz
é indefinida.