Exercício 6.106 Sejam
uma matriz positiva-definida e
uma matriz invertível. Mostre que a matriz
é positiva-definida.
Passo 1
O enunciado diz que
é positiva-definida e que
é invertível. Lembrando que “positiva-definida” significa que
é simétrica e
Queremos mostrar que
também é simétrica e satisfaz
para todo
.
Passo 2
Verificamos a simetria de
. De fato,
pois
é simétrica (
) e
. Logo
é simétrica.
Passo 3
Mostramos a positividade da forma quadrática. Seja
. Como
é invertível, sua transposta
também é, logo
Então
pela positividade de
. Assim
para todo
.
Resposta
A matriz
é positiva-definida.