Exercício 6.106 Sejam A in Mn(R) uma matriz positiva-definida e C in Mn(R) uma matriz invertível. Mostre que a matriz B=C A C^t é positiva-definida.

Passo 1

O enunciado diz que Ain Mn(R) é positiva-definida e que Cin Mn(R) é invertível. Lembrando que “positiva-definida” significa que A é simétrica e
x^T A x > 0para todo xneq 0
Queremos mostrar que
B = C,A,C^T
também é simétrica e satisfaz y^T B y>0 para todo yneq0.

Passo 2

Verificamos a simetria de B. De fato,
B^T = (C,A,C^T)^T = C,A^T,C^T = C,A,C^T = B,
pois A é simétrica ( A^T=A) e (C^T)^T=C. Logo B é simétrica.

Passo 3

Mostramos a positividade da forma quadrática. Seja yneq0. Como C é invertível, sua transposta C^T também é, logo
z = C^T y neq 0
Então
y^T B y = y^T (C A C^T) y = (C^T y)^T,A,(C^T y) = z^T A z > 0,
pela positividade de A. Assim y^T B y>0 para todo yneq0.

Resposta

A matriz B=C,A,C^T é positiva-definida.

Exercícios de Livros Relacionados