Exercício 6.97 Determine a solução do seguinte sistema dinâmico
x^prime(t) & =-3 x(t)+y(t) y^prime(t) & =x(t)-3 y(t)
com a condição inicial
[l x(0) y(0) ]=[l 2 3 ]

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema linear homogêneo com coeficientes constantes
x'(t)=-3,x(t)+y(t), y'(t)=x(t)-3,y(t),
e condição inicial l(x(0),y(0)r)=(2,3). Vamos resolver por diagonalização, isto é, encontrando autovalores e autovetores da matriz associada.

Passo 2

Escrevemos o sistema em forma matricial , onde
]

Passo 3

O polinômio característico de A é
detl(A-lambda Ir) =det-3-lambda & 1[3pt]1 & -3-lambda =(-3-lambda)^2-1 =lambda^2+6lambda+8
As raízes de lambda^2+6lambda+8=0 são
lambda1=-4, lambda2=-2 ]

Passo 4

Para resolvemos :
autovetor .
Para resolvemos :
autovetor .

Passo 5

A solução geral é combinação linear dos modos:
X(t) =C1,e^-4t1-1 +C2,e^-2t11
Isto é,
x(t)=C1,e^-4t+C2,e^-2t, y(t)=-C1,e^-4t+C2,e^-2t

Passo 6

Impondo
somando as equações obtemos .

Resposta

x(t)=-tfrac12,e^-4t+tfrac52,e^-2t, y(t)=tfrac12,e^-4t+tfrac52,e^-2t

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