Exercício 6.94 Considere a matriz simétrica A in M3(R) dada por:
A=[lll 0 & 1 & 1 1 & 0 & 1 1 & 1 & 0 ]
Determine uma matriz ortogonal Q in M3(R) que realiza a diagonalização da matriz A, isto é, Lambda=Q^t A Q é uma matriz diagonal.

Passo 1

O enunciado dá uma matriz simétrica de ordem 3
A = 0 & 1 & 1 1 & 0 & 1 1 & 1 & 0
e pede uma matriz ortogonal Q tal que
Lambda = Q^t A Q
é diagonal. Como A é simétrica, sabemos que existe uma base ortonormal de autovetores. Logo, vamos (i) encontrar os autovalores de A, (ii) achar os autovetores correspondentes e (iii) normalizá-los para formar as colunas de Q.

Passo 2

Vamos determinar os autovalores de sem calcular o determinante diretamente, usando propriedades de traço e traço do quadrado:
. A soma dos autovalores é igual ao traço de :
. A soma dos quadrados dos autovalores é igual ao traço de . Como cada linha de tem dois elementos iguais a , temos
e portanto
. Observamos que
ou seja, um autovalor é .
Como e , as únicas soluções reais são

Passo 3

Para , resolvemos , que leva ao sistema
cuja solução é . Tomamos o autovetor
e normalizamos:

Passo 4

Para lambda2=lambda3=-1, resolvemos (A+I)x=0, que dá a condição
x1 + x2 + x3 = 0
Escolhemos dois vetores independentes no plano x1+x2+x3=0, por exemplo
w2 = 1-10, w3 = 11-2
Verifica-se que lang<= w2,w3rang<==0. Normalizando:
v2 = w2|w2| = 1raiz21-10, v3 = w3|w3| = 1raiz611-2

Passo 5

Como são autovetores ortonormais, montamos
Por construção, é ortogonal e
]

Resposta

A matriz ortogonal que diagonaliza A é
Q = 1raiz3 & 1raiz2 & 1raiz6[6pt] 1raiz3 & -1raiz2 & 1raiz6[6pt] 1raiz3 & 0 & -2raiz6 ,
de modo que
Q^t A Q = 2 & 0 & 0 0 & -1 & 0 0 & 0 & -1 ]

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