Exercício 5.74 Considere o espaço vetorial C([-pi, pi]) com o produto interno usual
lang<= f, grang<==integral-pi^pi f(x) g(x) d x ; forall f, g in C([-pi, pi])
e o subespaço vetorial
U=f in C([-pi, pi]) / f(-x)=f(x)
Seja beta=1, cos (x), cos (2 x), cdots, cos (n x) um conjunto ortogonal em U. Calcular a projeção ortogonal da função f(x)=|x|, pertencente ao subespaço U, sobre o subespaço de dimensão finita S gerado pelos elementos do conjunto ortogonal beta.

Passo 1

O enunciado pede a projeção ortogonal de f(x)=|x| no subespaço S=span1,cos(x),cos(2x),dots,cos(nx), dentro de C([-pi,pi]) com produto interno
lang<= f,grang<==integral-pi^pif(x),g(x),dx
O conjunto beta=1,cos(kx)k=1^n é ortogonal, logo a projeção de f sobre S fica
PSf(x) =sumk=0^nlang<= f,;bkrang<=lang<= bk,bkrang<=,bk(x),
onde b0(x)=1 e bk(x)=cos(kx) para k>=1. Vamos calcular os coeficientes desse somatório.

Passo 2

Cálculo de a0=lang<= f,1rang<=lang<=1,1rang<=.
lang<= f,1rang<= =integral-pi^pi|x|,dx =2integral0^pix,dx =2;pi^22 =pi^2,
lang<=1,1rang<= =integral-pi^pi1,dx =2pi
Logo
a0=pi^22pi =pi2

Passo 3

Cálculo de ak=lang<= f,cos(kx)rang<=lang<=cos(kx),cos(kx)rang<= para 1<= k<= n.
Denominador:
lang<=cos(kx),cos(kx)rang<= =integral-pi^picos^2(kx),dx =pi
Numerador:
lang<= f,cos(kx)rang<= =integral-pi^pi|x|cos(kx),dx =2integral0^pixcos(kx),dx
Fazendo integração por partes em integral0^pixcos(kx),dx:
u=x, dv=cos(kx),dx ;Longrightarrow; du=dx,;v=sin(kx)k,
integral0^pixcos(kx),dx =l[xsin(kx)kr]0^pi -integral0^pisin(kx)k,dx =0-1kl[-cos(kx)kr]0^pi =(-1)^k-1k^2
Portanto
lang<= f,cos(kx)rang<= =2,(-1)^k-1k^2
Assim
ak =2,l((-1)^k-1r)/k^2pi =2l((-1)^k-1r)pi,k^2

Passo 4

Simplificação do coeficiente ak. Note que
(-1)^k-1= 0,&k par, -2,&k ímpar í
Logo
ak= 0,&k par, -dfrac4pi,k^2,&k ímpar í

Passo 5

Montagem da projeção ortogonal . Temos
Organizando os termos ímpares (com até ):

Resposta

boxedPSf(x) =pi2 -sumj=1^lfloorn+12rfloor 4pi,(2j-1)^2,cosl((2j-1)xr)

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