Exercício 5.75 Considere o espaço vetorial real P3(R) com o produto interno
lang<= p, qrang<==integral0^1 p(x) q(x) d x para todos p, q in P3(R)
Determine a melhor aproximação do elemento q(x)=x^3 no subespaço P2(R)

Passo 1

O enunciado pede a melhor aproximação de q(x)=x^3 no subespaço P2( R) do espaço com produto interno
lang<= p,qrang<==integral0^1 p(x),q(x),dx
O conteúdo aqui é projeção ortogonal de um elemento num subespaço em um espaço pré-hilbertiano. A melhor aproximação de q em P2 é o polinômio pin P2 tal que q-p seja ortogonal a todo polinômio de grau <=2.

Passo 2

Seja
p(x)=a,x^2 + b,x + c,
com a,b,cin R. A condição de projeção ortogonal é
llang<= x^3 - p(x),,1rrang<= = 0, llang<= x^3 - p(x),,xrrang<= = 0, llang<= x^3 - p(x),,x^2rrang<= = 0

Passo 3

Calculamos os integrais básicos em [0,1]:
integral0^1 x^k,dx = 1k+1,
Logo
integral0^1 x^3,dx= tfrac14,
integral0^1 x^4,dx= tfrac15,
integral0^1 x^5,dx= tfrac16.

Passo 4

Escrevendo cada condição:
para 1:
integral0^1l(x^3 - (a x^2 + b x + c)r),dx=0 ;Longrightarrow; 14 -l(c + b2 + a3r)=0,
para x:
integral0^1 xl(x^3 - p(x)r),dx=0 ;Longrightarrow; 15 -l( c2 + b3 + a4r)=0,
para x^2:
integral0^1 x^2l(x^3 - p(x)r),dx=0 ;Longrightarrow; 16 -l( c3 + b4 + a5r)=0
Isto gera o sistema linear
c + tfrac12 b + tfrac13 a = tfrac14, tfrac12 c + tfrac13 b + tfrac14 a = tfrac15, tfrac13 c + tfrac14 b + tfrac15 a = tfrac16

Passo 5

Multiplicando cada equação por
Fazendo combinações lineares das duas últimas com a primeira, chega-se a
cuja solução é . Substituindo numa das equações originais dá .

Resposta

A melhor aproximação de x^3 em P2( R) é
boxedp(x)=32,x^2 ;-;35,x;+;120

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