Exercício 5.75 Considere o espaço vetorial real com o produto interno
Determine a melhor aproximação do elemento no subespaço
Passo 1
O enunciado pede a melhor aproximação de no subespaço do espaço com produto interno
O conteúdo aqui é projeção ortogonal de um elemento num subespaço em um espaço pré-hilbertiano. A melhor aproximação de em é o polinômio tal que seja ortogonal a todo polinômio de grau .
Passo 2
Seja
com . A condição de projeção ortogonal é
Passo 3
Calculamos os integrais básicos em :
Logo , , .
Passo 4
Escrevendo cada condição:
para :
para :
para :
Isto gera o sistema linear
Passo 5
Multiplicando cada equação por
Fazendo combinações lineares das duas últimas com a primeira, chega-se a
cuja solução é . Substituindo numa das equações originais dá .
Resposta
A melhor aproximação de x^3 em P2( R) é
boxedp(x)=32,x^2 ;-;35,x;+;120
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Petronio Pulino - Álgebra Linear e suas Aplicações - 1ª Edição - Capítulo 5.5.17 - Ex. 5.75