Exercício 5.77 Considere o espaço vetorial real
munido do produto interno usual. Seja
o subespaço definido por:
Determine a melhor aproximação do elemento
no subespaço
.
Passo 1
Resumindo o enunciado, estamos em
com o produto interno usual e o subespaço
Queremos encontrar a melhor aproximação do vetor
no subespaço
, isto é, projetar
em
.
Passo 2
Como
é o plano definido pela equação
, seu ortogonal
é gerado pelo vetor normal
Portanto
.
Passo 3
A projeção ortogonal de
em
coincide com a projeção de
sobre a reta gerada por
. A fórmula geral para projeção de
em direção a
é
Passo 4
Calculemos primeiro
e
:
Passo 5
Substituindo na fórmula da projeção temos
Resposta
A melhor aproximação de
em
é