Exercício 5.77 Considere o espaço vetorial real R^3 munido do produto interno usual. Seja S o subespaço definido por:
S=(x, y, z) in R^3 / x+y-z=0
Determine a melhor aproximação do elemento v=(1,2,1) no subespaço S^perp.

Passo 1

Resumindo o enunciado, estamos em R^3 com o produto interno usual e o subespaço
S = (x,y,z)inR^3 mid x+y - z = 0
Queremos encontrar a melhor aproximação do vetor v=(1,2,1) no subespaço S^perp, isto é, projetar v em S^perp.

Passo 2

Como S é o plano definido pela equação x+y-z=0, seu ortogonal S^perp é gerado pelo vetor normal
n = (1,1,-1)
Portanto S^perp = spann.

Passo 3

A projeção ortogonal de v em S^perp coincide com a projeção de v sobre a reta gerada por n. A fórmula geral para projeção de v em direção a n é
projn(v) = lang<= v,nrang<=lang<= n,nrang<=,n

Passo 4

Calculemos primeiro lang<= v,nrang<= e lang<= n,nrang<=:
lang<= v,nrang<= = 1cdot1 + 2cdot1 + 1cdot(-1) = 1 + 2 -1 = 2,
lang<= n,nrang<= = 1^2 + 1^2 + (-1)^2 = 3

Passo 5

Substituindo na fórmula da projeção temos
projn(v) = 23,n = 23,(1,1,-1) = l(tfrac23,,tfrac23,,-tfrac23r)

Resposta

A melhor aproximação de v=(1,2,1) em S^perp é
l(tfrac23,,tfrac23,,-tfrac23r)

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