Exercício 5.76 Sejam
um espaço vetorial real munido do produto interno
,
um subespaço de dimensão finita com
uma base ortonormal para
. Dado um elemento
, considere a função
definida por:
onde
é a norma Euclidiana. Mostre que o elemento
satisfazendo
é a projeção ortogonal do elemento u sobre o subespaço
.
Passo 1
O enunciado está em um espaço vetorial real
com produto interno
. Temos um subespaço de dimensão finita
cuja base ortonormal é
. Dado
, definimos
e queremos mostrar que o minimizador
de
é justamente a projeção ortogonal de
em
. Usaremos a decomposição de
em parte em
e parte em
e o teorema de Pitágoras no espaço com produto interno.
Passo 2
Defina
Por construção,
e
é ortogonal a todo vetor de
, isto é,
. Denote
.
Passo 3
Tome um vetor arbitrário
. Como
é base de
, pode escrever
e então
Logo,
para algum
. Reescrevendo
Passo 4
Como
e
, pelo teorema de Pitágoras em espaços com produto interno temos
Note que
é constante (independe de
) e
, com igualdade se e só se
, i.e.,
.
Passo 5
Portanto, para todo
vale
com igualdade somente quando
. Assim,
é o minimizador de
em
.
Resposta
O vetor
, que é a projeção ortogonal de
em
, satisfaz