Exercício 5.76 Sejam V um espaço vetorial real munido do produto interno lang<=cdot, cdotrang<=, S um subespaço de dimensão finita com beta=q1, cdots, qn uma base ortonormal para S. Dado um elemento u in V, considere a função J: V longrightarrow R definida por:
J(v)=|u-v|2^2 ; v in S,
onde |cdot|2 é a norma Euclidiana. Mostre que o elemento v^* in S satisfazendo
J(v^*)=min J(v) ; v in S
é a projeção ortogonal do elemento u sobre o subespaço S.

Passo 1

O enunciado está em um espaço vetorial real V com produto interno lang<=cdot,cdotrang<=. Temos um subespaço de dimensão finita Ssubset V cuja base ortonormal é beta=q1,dots,qn. Dado uin V, definimos
J(v)=|u-v|2^2, vin S,
e queremos mostrar que o minimizador v^*in S de J é justamente a projeção ortogonal de u em S. Usaremos a decomposição de u em parte em S e parte em S^perp e o teorema de Pitágoras no espaço com produto interno.

Passo 2

Defina
v^* = sumi=1^nlang<= u,qirang<=,qi
Por construção, v^*in S e u-v^* é ortogonal a todo vetor de S, isto é, u-v^*in S^perp. Denote w = u - v^*.

Passo 3

Tome um vetor arbitrário vin S. Como qi é base de S, pode escrever
v = sumi=1^n ci,qi
e então
v - v^* in S
Logo, v - v^* = s para algum sin S. Reescrevendo
u - v = (u-v^*) - (v - v^*) = w - s

Passo 4

Como win S^perp e sin S, pelo teorema de Pitágoras em espaços com produto interno temos
|u-v|2^2 = |w - s|2^2 = |w|2^2 + |s|2^2
Note que |w|2^2=|u-v^*|2^2 é constante (independe de v) e |s|2^2>=0, com igualdade se e só se s=0, i.e., v=v^*.

Passo 5

Portanto, para todo vin S vale
J(v)=|u-v|2^2 = |u-v^*|2^2 + |s|2^2 >= |u-v^*|2^2 = J(v^*),
com igualdade somente quando v=v^*. Assim, v^* é o minimizador de J em S.

Resposta

O vetor v^*=sumi=1^nlang<= u,qirang<= qi, que é a projeção ortogonal de u em S, satisfaz
J(v^*)=minvin SJ(v)

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