Exercício 5.73 Considere o espaço vetorial real R^4 munido do produto interno usual. Seja S o subespaço gerado pelos elementos q1=(1,1,1,1) e q2=(-1,1,-1,1). Encontre a melhor aproximação do elemento u=(2,1,3,1) in R^4 no subespaço S.

Passo 1

O enunciado fala de R^4 com o produto interno usual e do subespaço
S = spanq1,q2,
onde
q1 = (1,1,1,1), q2=(-1,1,-1,1),
e pede a melhor aproximação (projeção ortogonal) do vetor
u = (2,1,3,1)
em S. Vamos usar projeção ortogonal em base (potencialmente) não ortonormal.

Passo 2

A projeção ortogonal de u em S gerada por q1,q2 é
p = lang<= u,q1rang<=lang<= q1,q1rang<=,q1 + lang<= u,q2rang<=lang<= q2,q2rang<=,q2,
pois q1 e q2 são ortogonais (isto é, lang<= q1,q2rang<==0). Vamos calcular cada produto interno.

Passo 3

Calculando os produtos internos:
lang<= q1,q1rang<= = 1^2+1^2+1^2+1^2 = 4,
lang<= q2,q2rang<= = (-1)^2+1^2+(-1)^2+1^2 = 4,
lang<= u,q1rang<= = 2cdot1 + 1cdot1 + 3cdot1 + 1cdot1 = 7,
lang<= u,q2rang<= = 2cdot(-1) + 1cdot1 + 3cdot(-1) + 1cdot1 = -3
Logo os coeficientes são tfrac74 e tfrac-34.

Passo 4

Substituindo em
p = 74,q1 - 34,q2
temos
p = 74(1,1,1,1) ;-;34(-1,1,-1,1) = l(tfrac74+tfrac34,;tfrac74-tfrac34,;tfrac74+tfrac34,;tfrac74-tfrac34r) = l(tfrac52,1,tfrac52,1r)

Resposta

A melhor aproximação de u em S é
l(tfrac52,,1,,tfrac52,,1r)

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