e verificar se T é diagonalizável. Vamos usar que, em matrizes triangulares por blocos, os autovalores de T são a união dos autovalores de cada bloco, e depois resolver (T-lambda I)x=0 para achar cada autovetor, conferindo a multiplicidade geométrica de cada autovalor.
cuja solução é lambda=1 e lambda=6.
– Para B, como é triangular, os autovalores são os elementos da diagonal: lambda=1 e lambda=3.
Logo os autovalores de T são
lambda1 = 6, lambda2 = 1 (dupla), lambda3 = 3
Passo 3
Autovetor para :
Resolvemos . No bloco temos
que dá . Podemos escolher
Passo 4
Autovetores para (multiplicidade algébrica 2):
No bloco :
escolhendo um autovetor é
No bloco :
então tomando obtemos
Esses dois vetores são linearmente independentes.
Passo 5
Autovetor para :
No bloco :
Tomando e , um autovetor é
Passo 6
Agora contamos as dimensões dos espaços próprios:
– Para lambda=6 há 1 autovetor;
– Para lambda=1 há 2 autovetores independentes;
– Para lambda=3 há 1 autovetor.
Somando, temos 4 autovetores linearmente independentes em R^4, igual à ordem de T. Portanto T é diagonalizável.
Resposta
Autovalores: lambda=6,1,1,3.
Autovetores associados:
v6=1200, v1^(A)=-2100, v1^(B)=0010, v3=0011
Sim, T é diagonalizável.
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Petronio Pulino - Álgebra Linear e suas Aplicações - 1ª Edição - Capítulo 6.6.7 - Ex. 6.103