Exercício 6.103 Considere a matriz diagonal em blocos T dada por:
[llll 2 & 2 & 0 & 0 2 & 5 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 2 0 & 0 & 0 & 3 ]
Encontre os autovalores e os autovetores da matriz T. A matriz T é diagonalizável?

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os autovalores e autovetores da matriz
T = 2 & 2 & 0 & 0 2 & 5 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 2 0 & 0 & 0 & 3
e verificar se T é diagonalizável. Vamos usar que, em matrizes triangulares por blocos, os autovalores de T são a união dos autovalores de cada bloco, e depois resolver (T-lambda I)x=0 para achar cada autovetor, conferindo a multiplicidade geométrica de cada autovalor.

Passo 2

Identificamos dois blocos principais:
A = 2 & 22 & 5, B = 1 & 20 & 3
– Para A, o polinômio característico é
det(A-lambda I) = (2-lambda)(5-lambda)-4 = lambda^2 -7lambda +6 =0,
cuja solução é lambda=1 e lambda=6.
– Para B, como é triangular, os autovalores são os elementos da diagonal: lambda=1 e lambda=3.
Logo os autovalores de T são
lambda1 = 6, lambda2 = 1 (dupla), lambda3 = 3

Passo 3

Autovetor para :
Resolvemos . No bloco temos
que dá . Podemos escolher

Passo 4

Autovetores para (multiplicidade algébrica 2):
No bloco :
escolhendo um autovetor é
No bloco :
então tomando obtemos
Esses dois vetores são linearmente independentes.

Passo 5

Autovetor para :
No bloco :
Tomando e , um autovetor é

Passo 6

Agora contamos as dimensões dos espaços próprios:
– Para lambda=6 há 1 autovetor;
– Para lambda=1 há 2 autovetores independentes;
– Para lambda=3 há 1 autovetor.
Somando, temos 4 autovetores linearmente independentes em R^4, igual à ordem de T. Portanto T é diagonalizável.

Resposta

Autovalores:
lambda=6,1,1,3.
Autovetores associados:
v6=1200, v1^(A)=-2100, v1^(B)=0010, v3=0011
Sim, T é diagonalizável.

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