Exercício 6.108 Seja A in Mn(R) uma matriz simétrica. Mostre que A é congruente com a matriz identidade se, e somente se, todos os autovalores de A são positivos.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para uma matriz real simétrica Ain Mn(R), vale
A é congruente a In Long<=ftrightarrow todos os autovalores de A são positivos éã
O conteúdo envolve a definição de congruência de matrizes (existe matriz invertível P tal que A=P^T InP=P^TP) e o Teorema Espectral para matrizes simétricas, que garante diagonalização ortogonal.

Passo 2

Suponha que A é congruente a In. Então existe P invertível tal que
A ;=; P^T In P ;=; P^T P
Para qualquer vetor não nulo xinR^n temos
x^T A x ;=; x^T (P^T P),x ;=; (Px)^T(Px) ;=;|Px|^2 ;>;0,
logo A é definida positiva. Como A é simétrica, seus autovalores são reais e, pela definição de matriz definida positiva, todos esses autovalores são >0.

Passo 3

Agora suponha que todos os autovalores de A sejam positivos. Pelo Teorema Espectral existe matriz ortogonal Q tal que
Q^T A Q ;=; D com D=diag(lambda1,dots,lambdan),
onde cada lambdai>0. Defina
D^1/2=diag(raizlambda1,dots,raizlambdan),
que é invertível. Então
D ;=;(D^1/2)^T,D^1/2 ;=;D^1/2,In,D^1/2,
isto é, D é congruente a In. Como também D=Q^T A Q, temos que A é congruente a D e, por transitividade da congruência, A é congruente a In.

Resposta

Mostramos que A é congruente a In se, e somente se, todos os autovalores de A são positivos.

Exercícios de Livros Relacionados