Exercício 6.108 Seja
uma matriz simétrica. Mostre que
é congruente com a matriz identidade se, e somente se, todos os autovalores de
são positivos.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para uma matriz real simétrica
, vale
O conteúdo envolve a definição de congruência de matrizes (existe matriz invertível
tal que
) e o Teorema Espectral para matrizes simétricas, que garante diagonalização ortogonal.
Passo 2
Suponha que
é congruente a
. Então existe
invertível tal que
Para qualquer vetor não nulo
temos
logo
é definida positiva. Como
é simétrica, seus autovalores são reais e, pela definição de matriz definida positiva, todos esses autovalores são
.
Passo 3
Agora suponha que todos os autovalores de
sejam positivos. Pelo Teorema Espectral existe matriz ortogonal
tal que
onde cada
. Defina
que é invertível. Então
isto é,
é congruente a
. Como também
, temos que
é congruente a
e, por transitividade da congruência,
é congruente a
.
Resposta
Mostramos que
é congruente a
se, e somente se, todos os autovalores de
são positivos.