Exercício 6.90 Seja
uma matriz Hermitiana. Mostre que existe um escalar
de modo que a matriz
seja positiva-definida.
Passo 1
O enunciado diz que
é Hermitiana e pede para mostrar que existe
tal que
seja positiva-definida. Vamos usar dois fatos principais:
- Teorema espectral para matrizes Hermitianas: elas são diagonalizáveis por matriz unitária com autovalores reais.
- Critério de positividade: uma matriz Hermitiana é positiva-definida se, e somente se, todos os seus autovalores são estritamente positivos.
Passo 2
Pelo teorema espectral, existe uma matriz unitária
e autovalores reais
de
tais que
com
para todo
.
Passo 3
Defina
Escolha agora qualquer
tal que
Por exemplo,
funciona. Então para cada autovalor
de
temos
Passo 4
Note que
tem todos os autovalores positivos. Logo
é positiva-definida.
Resposta
Basta tomar qualquer
com
, por exemplo
.