Exercício 6.90 Seja A in Mn(C) uma matriz Hermitiana. Mostre que existe um escalar lambda in R de modo que a matriz lambda I+A seja positiva-definida.

Passo 1

O enunciado diz que Ain Mn(C) é Hermitiana e pede para mostrar que existe lambdainR tal que lambda I + A seja positiva-definida. Vamos usar dois fatos principais:
  1. Teorema espectral para matrizes Hermitianas: elas são diagonalizáveis por matriz unitária com autovalores reais.
  2. Critério de positividade: uma matriz Hermitiana é positiva-definida se, e somente se, todos os seus autovalores são estritamente positivos.

Passo 2

Pelo teorema espectral, existe uma matriz unitária U e autovalores reais lambda1,dots,lambdan de A tais que
U^*,A,U ;=;diagl(lambda1,dots,lambdanr),
com lambdaiinR para todo i.

Passo 3

Defina
mu ;=;min1<= i<= nlambdai;inR
Escolha agora qualquer lambdainR tal que
lambda > -,mu
Por exemplo, lambda = 1-mu funciona. Então para cada autovalor lambdai de A temos
lambda + lambdai ;>=;lambda + mu ;>;(-mu)+mu ;=;0

Passo 4

Note que
lambda I + A é Hermitiana e U^*(lambda I + A)U =diagl(lambda+lambda1,dots,lambda+lambdanr) é
tem todos os autovalores positivos. Logo lambda I + A é positiva-definida.

Resposta

Basta tomar qualquer lambdainR com lambda>-minilambdai(A), por exemplo lambda=1-minilambdai(A).

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