Nos Exercícios de 10 a 13, esboce o conjunto de pontos que satisfazem o sistema de desigualdades dado.
x \leq 4
x \geq 2
y \leq 4
y \geq 1
x+y \leq 6

Passo 1

O enunciado pede o esboço do conjunto de pontos (x,y)\) que satisfazem o sistema de desigualdades \[\begin{cases} x \le 4,\\\ x \ge 2,\\\ y \le 4,\\\ y \ge 1,\\\ x + y \le 6. \end{cases}
O conteúdo aqui é geometria analítica: estamos intersectando o retângulo definido por 2 \le x \le 4\] e \(1 \le y \le 4 com o semiplano x + y \le 6.

Passo 2

Primeiro, identifiquemos o retângulo
R = \{(x,y)\mid 2 \le x \le 4,\;1 \le y \le 4\}.
Ele tem vértices em
A=(2,1),\;B=(4,1),\;C=(4,4),\;D=(2,4).

Passo 3

Agora, consideremos a reta
x + y = 6,
que é a fronteira do semiplano x + y \le 6. Essa reta passa por (2,4) e (4,2). O semiplano x+y\le6 está “abaixo” dessa reta, no sentido de valores menores de y para cada x.

Passo 4

Para determinar a região viável, intersectamos o retângulo R com o semiplano x+y\le6. As interseções da reta x+y=6 com as arestas de R ocorrem em
D=(2,4)\quad\text{(interseção com }x=2\text{)} \quad\text{e}\quad E=(4,2)\quad\text{(interseção com }x=4\text{)}.çãçã
Os pontos (4,4) e (5,1) ficam fora do semiplano.

Passo 5

Logo, a região solução é o quadrilátero convexo cujos vértices, em ordem, são
(2,1),\;(4,1),\;(4,2),\;(2,4),
e cujas arestas são:
– Entre (2,1) e (4,1) (reta y=1),
– Entre (4,1) e (4,2) (reta x=4),
– Entre (4,2) e (2,4) (reta x+y=6),
– Entre (2,4) e (2,1) (reta x=2).

Resposta

O esboço é o quadrilátero convexo de vértices
(2,1),\;(4,1),\;(4,2),\;(2,4),
preenchido, correspondendo à interseção do retângulo 2\le x\le4,\;1\le y\le4 com o semiplano x+y\le6.

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