Nos Exercícios 21 e 22, marque cada afirmação como Verdadeira ou Falsa. Justifique cada resposta.
a. A forma escalonada de uma matriz é única.
b. As posições de pivô em uma matriz dependem se foi usada a troca de linhas no processo de escalonamento da matriz.
c. A redução de uma matriz à sua forma escalonada é chamada de fase progressiva do processo de escalonamento.
d. Sempre que um sistema tiver variáveis livres, o conjunto solução conterá muitas soluções.
e. Uma solução geral de um sistema é uma descrição explícita de todas as soluções do sistema.

Passo 1

O enunciado pede para classificar cada afirmação sobre eliminação de Gauss, forma escalonada, pivôs, variáveis livres e solução geral de sistemas lineares como Verdadeira ou Falsa, justificando cada resposta. O conteúdo central é Álgebra Linear, mais precisamente técnicas de escalonamento de matrizes (forma escalonada, troca de linhas, pivôs, fase progressiva) e a relação entre variáveis livres e solução geral de um sistema.

Passo 2

Afirmação (a): “A forma escalonada de uma matriz é única.”
Definição: forma escalonada (também chamada de row echelon form, REF) é aquela em que cada linha não nula começa com um pivô à direita do pivô da linha acima. Porém, existem diferentes sequências de operações elementares (por exemplo, eliminando em ordens distintas ou trocando linhas em momentos diferentes) que levam a matrizes REF distintas. Logo, a REF de uma mesma matriz não é única.

Passo 3

Afirmação (b): “As posições de pivô em uma matriz dependem se foi usada a troca de linhas no processo de escalonamento da matriz.”
Quando aplicamos eliminação de Gauss, o pivô de cada coluna não nula pode vir de uma linha mais abaixo, e às vezes é necessário trocar linhas (swap) para trazer um elemento não nulo para a posição de pivô. Se fizermos diferentes trocas, o pivô de uma coluna pode aparecer em linhas distintas. Portanto, as posições de pivô em REF realmente dependem das trocas de linhas que realizamos.

Passo 4

Afirmação (c): “A redução de uma matriz à sua forma escalonada é chamada de fase progressiva do processo de escalonamento.”
Na eliminação de Gauss, o procedimento costuma dividir-se em duas fases:
  1. fase progressiva (ou forward elimination), em que zeramos sistematicamente abaixo dos pivôs, levando à forma escalonada;
  2. fase regressiva (ou back substitution / redução completa), em que zeramos acima dos pivôs para chegar à forma escalonada reduzida.
    Assim, a afirmação está correta.

Passo 5

Afirmação (d): “Sempre que um sistema tiver variáveis livres, o conjunto solução conterá muitas soluções.”
Variáveis livres correspondem a parâmetros livres na solução: cada variável livre pode receber um valor arbitrário, gerando infinitas combinações de solução. Logo, se há pelo menos uma variável livre, o sistema é compatível indeterminado e possui infinitas soluções (“muitas” soluções).

Passo 6

Afirmação (e): “Uma solução geral de um sistema é uma descrição explícita de todas as soluções do sistema.”
Por definição, a solução geral (ou forma paramétrica da solução) expressa cada variável em função dos parâmetros associados às variáveis livres, de modo que qualquer escolha desses parâmetros fornece uma solução. Isso corresponde exatamente a “descrição explícita de todas as soluções”.

Resposta

(a) Falsa
(b) Verdadeira
(c) Verdadeira
(d) Verdadeira
(e) Verdadeira

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