Expresse z1=i, z2=1-raiz3 i e z3=raiz3+i em forma polar e use suas respostas para encontrar z1 z2 / z3. Confira seus resultados efetuando as contas sem usar a forma polar.

Passo 1

O enunciado pede para expressar os complexos ,z1=i, ,z2=1-raiz3,i e ,z3=raiz3+i em forma polar (módulo e argumento) e em seguida usar essa forma para calcular
z1z2z3
O conteúdo envolve conversão de forma retangular para polar e as regras de multiplicação/divisão em polar.

Passo 2

Para z1=i temos
|z1|=raiz0^2+1^2=1,
e como o ponto (0,1) está sobre o eixo imaginário positivo, o argumento é
arg(z1)=pi2
Logo
z1=1;e^,ipi/2

Passo 3

Para z2=1-raiz3,i calculamos
|z2|=raiz1^2+(-raiz3)^2=raiz1+3=2,
e o ângulo satisfaz
tan(arg(z2))=-raiz31=-raiz3,
com x>0,y<0 caindo no quarto quadrante, daí
arg(z2)=-pi3
Então
z2=2;e^,-ipi/3

Passo 4

Para z3=raiz3+i temos
|z3|=raiz(raiz3)^2+1^2=raiz3+1=2,
e
tan(arg(z3))=1raiz3=1raiz3,
com x>0,y>0 no primeiro quadrante, logo
arg(z3)=pi6
Assim
z3=2;e^,ipi/6

Passo 5

Usando a forma polar,
z1z2=1cdot2;e^,i(pi/2 - pi/3) =2;e^,ipi/6,
e dividindo por z3:
z1z2z3 =2;e^,ipi/62;e^,ipi/6 =e^,i( pi/6 - pi/6 ) =e^,icdot0 =1

Passo 6

Verificação em forma retangular:
z1z2 =i,(1-raiz3,i) =i-raiz3,i^2 =i-raiz3(-1) =raiz3+i,
e então
z1z2z3 =raiz3+iraiz3+i =1

Resposta

z1=1,e^,ipi/2, z2=2,e^,-ipi/3, z3=2,e^,ipi/6,
z1z2z3=1

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