Sabendo que z1=2(cos pi / 4+i sen pi / 4) e z2=3(cos pi / 6+i sen pi / 6), encontre a forma polar de
z1^5z2^2

Passo 1

O enunciado pede para calcular em forma polar o quociente
z1^5z2^2,
sendo
z1=2l(cos(tfracpi4)+isin(tfracpi4)r), z2=3l(cos(tfracpi6)+isin(tfracpi6)r)
O conteúdo principal aqui é a aplicação da fórmula de De Moivre para potência de número complexo em forma polar e a propriedade de divisão em forma polar (divisão dos módulos e subtração dos argumentos).

Passo 2

Extraímos módulo e argumento de cada número:
|z1|=2, arg(z1)=tfracpi4,
|z2|=3, arg(z2)=tfracpi6

Passo 3

Aplicando De Moivre para elevar z1 à quinta potência:
z1^5 = |z1|^5,l(cos(5arg(z1))+isin(5arg(z1))r) = 2^5l(cos(tfrac5pi4)+isin(tfrac5pi4)r) =32l(cos(tfrac5pi4)+isin(tfrac5pi4)r)

Passo 4

De modo análogo, elevamos z2 ao quadrado:
z2^2 = |z2|^2,l(cos(2arg(z2))+isin(2arg(z2))r) =3^2l(cos(tfracpi3)+isin(tfracpi3)r) =9l(cos(tfracpi3)+isin(tfracpi3)r)

Passo 5

Agora dividimos z1^5 por z2^2 em forma polar: o módulo resultante é quociente dos módulos e o argumento é diferença dos argumentos,
l|tfracz1^5z2^2r| =329, arg!l(tfracz1^5z2^2r) =5pi4-pi3 =15pi-4pi12 =11pi12

Resposta

z1^5z2^2 =329l(cosl(tfrac11pi12r)+isinl(tfrac11pi12r)r)

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