Fazendo a=b=1 no Teorema do Binômio de Newton e no seu Corolário verifique que:
b) binomn0-binomn1+binomn2-cdots+(-1)^nbinomnn=0

Passo 1

Queremos verificar que binomn0-binomn1+binomn2-cdots+(-1)^nbinomnn=0. O conteúdo envolvido é o Teorema do Binômio de Newton e seu corolário; vamos precisar das fórmulas gerais de (a+b)^n e (a-b)^n.

Passo 2

Lembrando do Teorema do Binômio de Newton:
(a+b)^n = sumk=0^n binomnk ;a^n-k,b^k
O corolário é obtido ao substituir b por -b, resultando em:
(a-b)^n = sumk=0^n (-1)^k,binomnk;a^n-k,b^k

Passo 3

Para gerar a soma alternada, basta escolher a=b=1 na expressão de (a-b)^n. Assim obtemos:
(1-1)^n = sumk=0^n (-1)^k,binomnk,(1)^n-k,(1)^k = sumk=0^n (-1)^k,binomnk

Passo 4

Note que o lado esquerdo é (1-1)^n = 0^n = 0 para todo n>0. Portanto a soma alternada dos coeficientes binomiais é zero.

Passo 5

Finalizamos, então, que
binomn0-binomn1+binomn2-cdots+(-1)^nbinomnn=0

Resposta

0

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