Fazendo uso da Regra de Sinais de Descartes,o que se pode deduzir com relação ao número de raízes positivas, negativas e complexas das equações abaixo?
2 x^3+3 x^2+7=0

Passo 1

O enunciado pede para usar a Regra de Sinais de Descartes e deduzir o número de raízes positivas, negativas e complexas da equação
f(x)=2x^3+3x^2+7=0
Para isso, precisamos contar as variações de sinal em f(x) (raízes positivas) e em f(-x) (raízes negativas).

Passo 2

Escrevendo os coeficientes de f(x):
2,;3,;0,;7
Temos sinais +,+,0,+. Ignorando o zero, a sequência de sinais é +,+,+, logo não há variação de sinal. Pelo Descartes, o número de raízes positivas é
0

Passo 3

Agora calculemos f(-x):
f(-x) = 2(-x)^3 + 3(-x)^2 +7 = -2x^3 +3x^2 +7
Os coeficientes são -, +, 0, +. Ignorando o zero, a sequência fica -,+,+. Há exatamente uma variação de sinal (de - para +), logo o número de raízes negativas é
1

Passo 4

Como é um polinômio de grau 3, o total de raízes (reais ou complexas) é 3. Já contamos 0 positivas e 1 negativa, restando
3 - (0 + 1) = 2
raízes que devem ser complexas (conjugadas).

Resposta

Número de raízes positivas: 0
Número de raízes negativas: 1
Número de raízes complexas: 2

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