Determine os valores de k para os quais:
4 x^3+3 x^2-k x+6 k é divisível de forma exata por x+3,

Passo 1

O enunciado pede para determinar k tal que o polinômio 4x^3+3x^2-kx+6k seja divisível por x+3. Esse tipo de divisibilidade envolve o Teorema do Resto para polinômios.

Passo 2

Segundo o Teorema do Resto, um polinômio P(x) é divisível por x+3 se e somente se P(-3)=0.

Passo 3

Substituindo x=-3 em P(x)=4x^3+3x^2-kx+6k, obtemos
P(-3)=4(-3)^3+3(-3)^2-k(-3)+6k
Simplificando os termos:

Passo 4

Simplificando 4(-27)+3(9)+3k+6k=-108+27+9k=-81+9k. Igualando a zero e resolvendo -81+9k=0, vem 9k=81 e logo k=9.

Resposta

k = 9

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