10 Um físico acha que uma substância radioativa desconhecida registra 2.000 contages por minuto em um contador Geiger. Dez dias depois a substância registra 1.500 contagens por minuto. Dê uma aproximação de sua meia-vida.

Passo 1

O enunciado diz que uma substância tem contagem inicial de 2000 contagens por minuto e, após 10 dias, registra 1500 contagens por minuto. Precisamos usar o modelo de decaimento exponencial contínuo e encontrar a meia-vida da substância.

Passo 2

No decaimento exponencial contínuo, a atividade N(t) satisfaz
N(t)=N_{0}e^{-k t}
onde N_{0}=2000 é a atividade inicial e k é a constante de decaimento. Substituindo t=10 dias e N(10)=1500, obtemos
1500=2000\,e^{-10k}\,.

Passo 3

Isolando e^{-10k} e depois k:
e^{-10k}=\frac{1500}{2000}=0,75
-10k=\ln(0,75)
k=-\frac{1}{10}\ln(0,75)\approx\frac{1}{10}\times0,28768=0,028768\\ (\text{dia}^{-1}).

Passo 4

A meia-vida T_{1/2} é dada por
T_{1/2}=\frac{\ln 2}{k}
Logo,
T_{1/2} =\frac{\ln2}{-\tfrac{1}{10}\ln(0,75)} =10\,\frac{\ln2}{-\ln(0,75)} \approx10\,\frac{0,6931}{0,2877} \approx24,1\\ (\text{dias}).

Resposta

A meia-vida da substância é aproximadamente 24{,}1 dias.

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