Identifique os seguintes subconjuntos do plano e, no caso de ser uma elipse, determine as coordenadas do centro, vértices e focos:
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Passo 1
A questão pede pra identificar o subconjunto $\mathcal{D}$ definido por $4x^2 -8x +9y^2 -36y +44=0$. Isso é um caso de cônica e a gente vai usar o método de completar quadrados para ver se sai uma elipse, hipérbole, reta, ponto ou conjunto vazio.
Passo 2
Começamos completando o quadrado nos termos de $x$ e de $y$. Reescrevendo a equação:
Agora cada parte:
Somando tudo:
Isolando os quadrados:
Passo 3
O lado esquerdo é soma de termos não-negativos, então é sempre \ge 0\, mas o lado direito é \-4\. Isso é impossível para números reais.
Passo 4
Portanto não há ponto $x,y$ que satisfaça a equação, ou seja, $\mathcal{D} = \varnothing$.