1.6 Para n in N, calcule o valor de 1+i+i^2+cdots+i^n-1.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a soma dos primeiros n termos da sequência 1, i, i^2, dots, i^n-1, que é uma progressão geométrica no campo dos números complexos. Vamos usar teoria de séries geométricas e a periodicidade da unidade imaginária i.

Passo 2

Em uma progressão geométrica finita de razão rneq 1, a soma dos n primeiros termos é dada por
Sn = 1 + r + r^2 + cdots + r^n-1 = 1 - r^n1 - r
Aqui temos r = i, e como i neq 1 podemos aplicar diretamente essa fórmula.

Passo 3

Substituindo r = i na fórmula, obtemos
S = 1 + i + i^2 + cdots + i^n-1 = 1 - i^n1 - i
Para simplificar, multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado de 1 - i, que é 1 + i. Como
(1 - i)(1 + i) = 1 - i^2 = 1 - (-1) = 2,
inferimos que
S = 1 - i^n1 - i = (1 - i^n)(1 + i)2

Passo 4

Para expressar a resposta de forma mais explícita, usamos a periodicidade i^n+4 = i^n. Os valores de i^n dependerão de n bmod 4:
i^n = 1, & n equiv 0 pmod 4, i, & n equiv 1 pmod 4, -1, & n equiv 2 pmod 4, - i, & n equiv 3 pmod 4

Passo 5

Substituindo cada caso em S = (1 - i^n)(1 + i)/2 e simplificando, chegamos ao resultado em função de n bmod 4:
S = 0, & n equiv 0 pmod 4, 1, & n equiv 1 pmod 4, 1 + i, & n equiv 2 pmod 4, i, & n equiv 3 pmod 4

Resposta

1 + i + i^2 + cdots + i^n-1 = 0, & n equiv 0 pmod 4, 1, & n equiv 1 pmod 4, 1 + i, & n equiv 2 pmod 4, i, & n equiv 3 pmod 4

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