O enunciado pede para calcular a soma dos primeiros termos da sequência , que é uma progressão geométrica no campo dos números complexos. Vamos usar teoria de séries geométricas e a periodicidade da unidade imaginária .
Passo 2
Em uma progressão geométrica finita de razão , a soma dos primeiros termos é dada por
Aqui temos , e como podemos aplicar diretamente essa fórmula.
Passo 3
Substituindo na fórmula, obtemos
Para simplificar, multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado de , que é . Como
inferimos que
Passo 4
Para expressar a resposta de forma mais explícita, usamos a periodicidade . Os valores de dependerão de :
Passo 5
Substituindo cada caso em S = (1 - i^n)(1 + i)/2 e simplificando, chegamos ao resultado em função de n bmod 4:
S = 0, & n equiv 0 pmod 4, 1, & n equiv 1 pmod 4, 1 + i, & n equiv 2 pmod 4, i, & n equiv 3 pmod 4
Resposta
1 + i + i^2 + cdots + i^n-1 = 0, & n equiv 0 pmod 4, 1, & n equiv 1 pmod 4, 1 + i, & n equiv 2 pmod 4, i, & n equiv 3 pmod 4
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Abramo Hefez - Curso de Álgebra - 3ª Edição - Capítulo 9.1.Problemas - Ex. 1.6