Resolva em C as seguintes equações
(c) z^2=1-raiz3 i

Passo 1

O enunciado pede para resolver, no conjunto dos números complexos, a equação z^2 = 1 - raiz3,i. O conteúdo envolvido é representação de complexos em forma polar e aplicação da fórmula de de Moivre para extrair raízes quadradas de um número complexo.

Passo 2

Vamos escrever 1 - raiz3,i em forma polar. Primeiro o módulo:
r = |1 - raiz3,i| = raiz1^2 + (raiz3)^2 = 2
Depois, o argumento principal theta satisfaz
tantheta = -raiz31 = -raiz3,
de modo que podemos tomar theta = -tfracpi3. Assim
1 - raiz3,i = 2,e^-ipi/3

Passo 3

Pela fórmula das raízes, se z^2 = r,e^itheta então
z = raizr,e^i(theta/2 + kpi), k = 0,1
Aqui raizr = raiz2 e theta/2 = -pi/6, logo
zk = raiz2,e^i(-pi/6 + kpi), k = 0,1

Passo 4

Basta converter cada zk para a forma a+bi. Para k=0:
z0 = raiz2l(cos(-pi/6) + isin(-pi/6)r) = raiz2l(raiz32 - i12r) = raiz62 - iraiz22
Para k=1:
z1 = raiz2l(cos(5pi/6) + isin(5pi/6)r) = raiz2l(-raiz32 + i12r) = -raiz62 + iraiz22

Resposta

As soluções são
z = raiz62 - iraiz22e z = -raiz62 + iraiz22

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