\mathrm{L}: \mathrm{R}^{2} \rightarrow \mathrm{R}^{2} definida por
L(x, y)=(x-1, y-x)
é uma transformação linear?

Passo 1

O enunciado apresenta a aplicação L\colon\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 dada por
L(x,y) = (x-1,\;y - x).
O conteúdo aqui é transformação linear em espaços vetoriais: para que L seja linear, ela deve preservar soma e multiplicação por escalar. Uma forma rápida de testar isso é verificar se
L(0,0) = (0,0).

Passo 2

Lembrando a propriedade fundamental de uma transformação linear T:
T(0,0) = 0\quad\text{(vetor nulo)}.
Se T(0,0)\neq(0,0), então T não pode ser linear.

Passo 3

Vamos calcular
L(0,0) = (\,0 - 1,\;0 - 0\,) = (-1,\,0).
Observe que (-1,0) é diferente de (0,0).

Passo 4

Como L(0,0)\neq(0,0), concluímos que L não satisfaz a condição necessária de enviar o vetor nulo no domínio para o vetor nulo no contradomínio. Portanto, L não é linear.

Resposta

Não, L não é uma transformação linear, pois
L(0,0)=(-1,0)\neq(0,0).

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