Sejam \mathbf{u}=(a, 2, a) e \mathbf{v}=(4,-3,2). Para quais valores de a \mathbf{u} \mathbf{e} \mathbf{v} são ortogonais?

Passo 1

O enunciado nos dá os vetores \mathbf{u}=(a,2,a) e \mathbf{v}=(4,-3,2) e pede os valores de a para os quais eles são ortogonais. Para isso, vamos usar o conceito de produto escalar: dois vetores são ortogonais exatamente quando o produto escalar entre eles é zero.

Passo 2

Calculemos o produto escalar \mathbf{u}\cdot\mathbf{v} somando o produto de cada componente correspondente:
\mathbf{u}\cdot\mathbf{v} = a\cdot 4 + 2\cdot(-3) + a\cdot 2 = 4a - 6 + 2a = 6a - 6.

Passo 3

Para que \mathbf{u} e \mathbf{v} sejam ortogonais, precisamos ter
6a - 6 = 0.
Resolvendo essa equação:
6a = 6 \quad\Longrightarrow\quad a = 1.

Resposta

a = 1

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