Ex. 92 - Uma matriz A é quase-diagonal se pode ser particionada em blocos de forma que apenas os blocos Ai i contém elementos não-nulos.
A=(llll A11 & & & & A22 & & & & ddots & & & & An n )
Mostre que a inversa de uma matriz quase-diagonal é também uma matriz quase-diagonal, particionada da mesma forma, onde cada bloco Ai i^-1 é a inversa do bloco Ai i original.
A^-1=(llll (A11)^-1 & & & & (A22)^-1 & & & & ddots & & & & (An n)^-1 )

Passo 1

O enunciado trata de uma matriz quase-diagonal, ou seja, uma matriz A que está partida em blocos
A = A11 & & & & A22 & & & & ddots & & & & Ann ,
onde cada bloco quadrado Aii é invertível e todos os blocos fora da diagonal são nulos. Queremos mostrar que a inversa A^-1 também é quase-diagonal, com os blocos diagonais dados por l(Aiir)^-1. Para isso, usaremos a definição de inversa de matriz e a multiplicação de blocos.

Passo 2

Seja
B = A^-1 = l(Bijr)i,j=1^n
a inversa de A, também particionada em blocos Bij. Pela definição de inversa temos
A,B = I e B,A = I,
onde I é a matriz identidade particionada em blocos Iij (com Iii=I e Iij=0 se ineq j).

Passo 3

Analisando o produto de blocos em posição fora da diagonal, ou seja ineq j, obtemos
(AB)ij = sumk=1^n Aik,Bkj
Mas Aik=0 sempre que ineq k, pois A é quase-diagonal. Logo, o único termo não nulo da soma é quando k=i, e fica
(AB)ij = Aii,Bij
Como AB=I, para ineq j vale (AB)ij=0. Então
Aii,Bij=0
E, como Aii é invertível, concluímos
Bij=0 para ineq j
Isto mostra que todos os blocos fora da diagonal de B são nulos.

Passo 4

Agora olhemos a posição diagonal i=j. Novamente pelo produto de blocos,
(AB)ii = sumk=1^n Aik,Bki = Aii,Bii,
pois os demais Aik com kneq i são nulos. Como (AB)ii=I, obtemos
Aii,Bii=I
Similarmente, analisando BA=I chegamos à mesma equação para Bii. Portanto
Bii = l(Aiir)^-1 para todo i

Passo 5

Reunindo os resultados dos passos anteriores, concluímos que
B = A^-1 = l(A11r)^-1 & & & & l(A22r)^-1 & & & & ddots & & & & l(Annr)^-1 ,
ou seja, a inversa de A é também uma matriz quase-diagonal com a mesma partição, e cada bloco é a inversa do bloco correspondente em A.

Resposta

A^-1 = l(A11r)^-1 & & & & l(A22r)^-1 & & & & ddots & & & & l(Annr)^-1

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