Mostre que se
para todo
, então
a)
;
a)
Passo 1
Enunciado: precisamos mostrar que, para θ≠2πλ (λ∈ℤ), vale a soma
O conteúdo envolve soma de funções trigonométricas e usaremos a fórmula de Euler e a soma de uma progressão geométrica complexa.
Passo 2
Usando a identidade de Euler representamos cada cosseno como parte real de um exponencial:
Definimos então a soma complexa
e a soma real desejada é
Passo 3
Como θ não é múltiplo de 2π, podemos aplicar a fórmula da soma de uma PG:
Passo 4
Para simplificar, expressamos a diferença de exponenciais em termos de senos. Primeiro o numerador:
E o denominador:
Passo 5
Dividindo numerador e denominador obtemos
Passo 6
Finalmente, tomando a parte real de S_c, usamos
e chegamos à fórmula desejada: