Mostre que se theta neq 2 lambda pi para todo lambda in Z, então
a) 1+cos theta+cdots+cos n theta=cos n theta2sen theta2 sen (n+1) theta2;

Passo 1

Enunciado: precisamos mostrar que, para θ≠2πλ (λ∈ℤ), vale a soma
1+cos θ+cdots+cos nθ=cosnθ2sinθ2sin(n+1)θ2
O conteúdo envolve soma de funções trigonométricas e usaremos a fórmula de Euler e a soma de uma progressão geométrica complexa.

Passo 2

Usando a identidade de Euler representamos cada cosseno como parte real de um exponencial:
cos kθ=Rel(e^ikθr)
Definimos então a soma complexa
Sc=sumk=0^n e^ikθ
e a soma real desejada é
sumk=0^ncos kθ=Re(Sc)

Passo 3

Como θ não é múltiplo de 2π, podemos aplicar a fórmula da soma de uma PG:
Sc=1-e^i(n+1)θ1-e^iθ

Passo 4

Para simplificar, expressamos a diferença de exponenciais em termos de senos. Primeiro o numerador:
1-e^i(n+1)θ=e^i(n+1)θ2l(e^-i(n+1)θ2-e^i(n+1)θ2r)=-2i,e^i(n+1)θ2sin(n+1)θ2
E o denominador:
1-e^iθ=e^iθ2l(e^-iθ2-e^iθ2r)=-2i,e^iθ2sinθ2

Passo 5

Dividindo numerador e denominador obtemos
Sc=-2i,e^i(n+1)θ2sin(n+1)θ2-2i,e^iθ2sinθ2=e^inθ2sin(n+1)θ2sinθ2

Passo 6

Finalmente, tomando a parte real de S_c, usamos
Rel(e^itfracnθ2r)=cosnθ2
e chegamos à fórmula desejada:
1+cos θ+cdots+cos nθ=cosnθ2sinθ2sin(n+1)θ2

Resposta

1+cos θ+cdots+cos nθ=cosnθ2sinθ2sin(n+1)θ2

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