Mostre que se dois triângulos são semelhantes então a razão entre suas áreas é igual a razão entre os quadrados de quaisquer dois se seus pares de lados correspondentes.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se dois triângulos são semelhantes, a razão entre suas áreas é igual à razão entre os quadrados de quaisquer dois lados correspondentes. O conteúdo envolve semelhança de triângulos e a fórmula de área em função de dois lados e do seno do ângulo entre eles.

Passo 2

Sejam os triângulos ABC e A'B'C' semelhantes. Pela definição de semelhança, os lados correspondentes são proporcionais, isto é, existe um escalar k tal que
ABA'B' ;=;ACA'C';=;BCB'C';=;k

Passo 3

A fórmula de área de um triângulo em função de dois lados e do seno do ângulo formado por eles é
ÁreaABC ;=;tfrac12,ABcdot ACcdotsinang<= BAC, ÁreaA'B'C' ;=;tfrac12,A'B'cdot A'C'cdotsinang<= B'A'C' ÁÁ

Passo 4

Formando a razão entre as áreas, temos
ÁreaABCÁreaA'B'C' =tfrac12,ABcdot ACcdotsinang<= BAC tfrac12,A'B'cdot A'C'cdotsinang<= B'A'C' =ABcdot ACA'B'cdot A'C';cdot;sinang<= BACsinang<= B'A'C' ÁÁ

Passo 5

Como triang<= ABCsimtriang<= A'B'C', vale ang<= BAC=ang<= B'A'C', logo sinang<= BAC=sinang<= B'A'C'. Assim
ÁreaABCÁreaA'B'C' =ABcdot ACA'B'cdot A'C' ÁÁ

Passo 6

Pela proporcionalidade de lados, AB=k,A'B' e AC=k,A'C'. Substituindo,
ABcdot ACA'B'cdot A'C' =(k,A'B')(k,A'C')A'B'cdot A'C' =k^2

Passo 7

Como k=ABA'B', concluímos que
ÁreaABCÁreaA'B'C' =gl(ABA'B'gr)^2 ÁÁ

Resposta

A razão entre as áreas de dois triângulos semelhantes é igual ao quadrado da razão de quaisquer dois lados correspondentes.

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