Mostre que se dois triângulos são semelhantes então a razão entre suas áreas é igual a razão entre os quadrados de quaisquer dois se seus pares de lados correspondentes.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se dois triângulos são semelhantes, a razão entre suas áreas é igual à razão entre os quadrados de quaisquer dois lados correspondentes. O conteúdo envolve semelhança de triângulos e a fórmula de área em função de dois lados e do seno do ângulo entre eles.
Passo 2
Sejam os triângulos
e
semelhantes. Pela definição de semelhança, os lados correspondentes são proporcionais, isto é, existe um escalar
tal que
Passo 3
A fórmula de área de um triângulo em função de dois lados e do seno do ângulo formado por eles é
Passo 4
Formando a razão entre as áreas, temos
Passo 5
Como
, vale
, logo
. Assim
Passo 6
Pela proporcionalidade de lados,
e
. Substituindo,
Passo 7
Como
, concluímos que
Resposta
A razão entre as áreas de dois triângulos semelhantes é igual ao quadrado da razão de quaisquer dois lados correspondentes.