Prove que, em dois círculos de raios
e
, cordas de comprimentos
e
, respetivamente, subtendem arcos de comprimentos
e
.
Passo 1
O enunciado diz que temos dois círculos, um de raio
e outro de raio
. No primeiro traçamos uma corda de comprimento
que subtende um arco de comprimento
; no segundo traçamos uma corda de comprimento
que subtende um arco de comprimento, digamos,
. Queremos provar que
. Para isso vamos usar duas fórmulas clássicas da geometria de círculos:
- A relação entre o comprimento da corda e o ângulo central em radianos:
onde
é o ângulo central correspondente à corda de comprimento
.
2. A fórmula do comprimento do arco em função do ângulo central em radianos:
2. A fórmula do comprimento do arco em função do ângulo central em radianos:
Passo 2
Seja
o ângulo central (em radianos) associado à corda de comprimento
no círculo de raio
. Então
No segundo círculo, de raio
, a corda de comprimento
subtende um ângulo central, digamos,
. Logo
Passo 3
Da expressão do segundo círculo temos
Comparando com
, obtemos
Como estamos considerando sempre o arco menor (ângulos em
), concluímos que
Passo 4
Agora usamos a fórmula do comprimento de arco em cada círculo. No primeiro círculo,
No segundo,
Isso prova que, se a corda no segundo círculo é
vezes maior, o arco correspondente também tem comprimento
vezes maior.
Resposta
Os arcos têm comprimentos
e
, ou seja,
.