Prove que, em dois círculos de raios R e k R, cordas de comprimentos c e k c, respetivamente, subtendem arcos de comprimentos S e k S.

Passo 1

O enunciado diz que temos dois círculos, um de raio R e outro de raio kR. No primeiro traçamos uma corda de comprimento c que subtende um arco de comprimento S; no segundo traçamos uma corda de comprimento kc que subtende um arco de comprimento, digamos, S'. Queremos provar que S'=kS. Para isso vamos usar duas fórmulas clássicas da geometria de círculos:
  1. A relação entre o comprimento da corda e o ângulo central em radianos:
c = 2R sinl(tfractheta2r),
onde theta é o ângulo central correspondente à corda de comprimento c.
2. A fórmula do comprimento do arco em função do ângulo central em radianos:
S = R,theta

Passo 2

Seja theta o ângulo central (em radianos) associado à corda de comprimento c no círculo de raio R. Então
c = 2R sinl(tfractheta2r)
No segundo círculo, de raio kR, a corda de comprimento kc subtende um ângulo central, digamos, phi. Logo
kc = 2,l(kRr),sinl(tfracphi2r) = 2kR,sinl(tfracphi2r)

Passo 3

Da expressão do segundo círculo temos
kc = 2kR,sinl(tfracphi2r) ;Longrightarrow; c = 2R,sinl(tfracphi2r)
Comparando com c = 2R,sinl(tfractheta2r), obtemos
sinl(tfractheta2r) = sinl(tfracphi2r)
Como estamos considerando sempre o arco menor (ângulos em (0,pi)), concluímos que
theta = phi

Passo 4

Agora usamos a fórmula do comprimento de arco em cada círculo. No primeiro círculo,
S = R,theta
No segundo,
S' = (kR),phi = kR,theta = k,(R,theta) = kS
Isso prova que, se a corda no segundo círculo é k vezes maior, o arco correspondente também tem comprimento k vezes maior.

Resposta

Os arcos têm comprimentos S e S'=kS, ou seja, S'=kS.

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