A região limitada por dois raios e um arco de um círculo é chamada de setor do círculo. Mostre que a áreas de um setor é 12 R S onde R é o raio do círculo e S é comprimento do arco.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a área de um setor de círculo de raio R cujo arco tem comprimento S é tfrac12 R,S. O conteúdo é geometria de áreas e vamos usar a fórmula da área do círculo completo e a definição de comprimento de arco em radianos.

Passo 2

Seja theta o ângulo central do setor em radianos. Por definição, o comprimento do arco é
S = R,theta

Passo 3

A área A de um setor é a fração theta/(2pi) da área do círculo completo pi R^2. Logo,
A = theta2pi,pi R^2 = 12R^2theta

Passo 4

Substituindo theta = S/R na expressão anterior, obtemos
A = 12R^2cdotSR = 12R,S

Resposta

A = 12R,S

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