Mostre que a razão entre as áreas de dois polígonos semelhantes é igual a razão entre os quadrados e quaisquer dois de seus lados correspondentes.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dados dois polígonos semelhantes cujos lados correspondentes medem
e
, as áreas
e
desses polígonos satisfazem
Vamos usar a definição de semelhança (todos os ângulos correspondentes iguais e todos os lados proporcionais) e a fórmula da área de um triângulo em função de dois lados e do seno do ângulo entre eles.
Passo 2
Em qualquer polígono de
lados podemos escolher um vértice e traçar
diagonais ligando-o aos outros vértices, de modo a particionar o polígono em
triângulos. Como os polígonos são semelhantes, cada triângulo do primeiro polígono é semelhante ao triângulo correspondente do segundo, e todos os lados correspondentes mantêm a mesma razão de semelhança
Passo 3
Considere um par de triângulos correspondentes, com lados correspondentes de comprimentos
e
e ângulo comum
. Suas áreas valem
Como
e
é o mesmo em ambos, divide-se
Logo, cada par de triângulos tem razão de áreas igual a
.
Passo 4
A área total de cada polígono é a soma das áreas dos seus
triângulos. Como em cada triângulo a razão de áreas é
, a soma também satisfaz