Mostre que a razão entre as áreas de dois polígonos semelhantes é igual a razão entre os quadrados e quaisquer dois de seus lados correspondentes.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dados dois polígonos semelhantes cujos lados correspondentes medem l1 e l2, as áreas A e A' desses polígonos satisfazem
AA' = l(l1l2r)^2
Vamos usar a definição de semelhança (todos os ângulos correspondentes iguais e todos os lados proporcionais) e a fórmula da área de um triângulo em função de dois lados e do seno do ângulo entre eles.

Passo 2

Em qualquer polígono de n lados podemos escolher um vértice e traçar n-2 diagonais ligando-o aos outros vértices, de modo a particionar o polígono em n-2 triângulos. Como os polígonos são semelhantes, cada triângulo do primeiro polígono é semelhante ao triângulo correspondente do segundo, e todos os lados correspondentes mantêm a mesma razão de semelhança
k = l1l2

Passo 3

Considere um par de triângulos correspondentes, com lados correspondentes de comprimentos a e b e ângulo comum gamma. Suas áreas valem
Atriang<= = tfrac12,a^2,singamma e A'triang<= = tfrac12,b^2,singamma
Como a/b = k e singamma é o mesmo em ambos, divide-se
Atriang<=A'triang<= = tfrac12,a^2singammatfrac12,b^2singamma = l(abr)^2 = k^2
Logo, cada par de triângulos tem razão de áreas igual a k^2.

Passo 4

A área total de cada polígono é a soma das áreas dos seus n-2 triângulos. Como em cada triângulo a razão de áreas é k^2, a soma também satisfaz
AA' = k^2 = l(l1l2r)^2

Resposta

área do polígonoárea do polígono' = l(l1l2r)^2 áíáí

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