Três polígonos semelhantes são construídos tendo cada um deles, como lado, um dos lados de um triângulo retângulo. Prove que a área do maior deles é igual a soma das áreas dos dois menores.
Passo 1
O enunciado pede para provar que, em um triângulo retângulo de catetos de comprimentos
e
e hipotenusa de comprimento
, se construirmos três polígonos semelhantes cujos lados medem exatamente
,
e
, então a área do polígono sobre a hipotenusa é igual à soma das áreas dos polígonos sobre os catetos. Vamos usar o fato de que áreas de figuras semelhantes são proporcionais aos quadrados dos lados correspondentes.
Passo 2
Sejam
,
e
as áreas dos polígonos construídos sobre os lados de comprimentos
,
e
, respectivamente. Como os polígonos são semelhantes, existe uma constante de proporcionalidade
tal que a razão entre a área de cada polígono e o quadrado de seu lado é sempre a mesma. Assim,
Passo 3
No triângulo retângulo, pelo Teorema de Pitágoras, sabemos que
Multiplicando ambos os lados por
, obtemos
Passo 4
Usando as expressões de
,
e
em função de
, concluímos que
Resposta
Está provado que a área do polígono sobre a hipotenusa é igual à soma das áreas dos polígonos sobre os catetos, ou seja,
.