Três polígonos semelhantes são construídos tendo cada um deles, como lado, um dos lados de um triângulo retângulo. Prove que a área do maior deles é igual a soma das áreas dos dois menores.

Passo 1

O enunciado pede para provar que, em um triângulo retângulo de catetos de comprimentos a e b e hipotenusa de comprimento c, se construirmos três polígonos semelhantes cujos lados medem exatamente a, b e c, então a área do polígono sobre a hipotenusa é igual à soma das áreas dos polígonos sobre os catetos. Vamos usar o fato de que áreas de figuras semelhantes são proporcionais aos quadrados dos lados correspondentes.

Passo 2

Sejam Aa, Ab e Ac as áreas dos polígonos construídos sobre os lados de comprimentos a, b e c, respectivamente. Como os polígonos são semelhantes, existe uma constante de proporcionalidade k tal que a razão entre a área de cada polígono e o quadrado de seu lado é sempre a mesma. Assim,
Aa = k,a^2, Ab = k,b^2, Ac = k,c^2

Passo 3

No triângulo retângulo, pelo Teorema de Pitágoras, sabemos que
c^2 = a^2 + b^2
Multiplicando ambos os lados por k, obtemos
k,c^2 = k,a^2 + k,b^2

Passo 4

Usando as expressões de Aa, Ab e Ac em função de k, concluímos que
Ac = Aa + Ab

Resposta

Está provado que a área do polígono sobre a hipotenusa é igual à soma das áreas dos polígonos sobre os catetos, ou seja, Ac = Aa + Ab.

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