5.3.14 Mostre que, se
for um autovalor de uma matriz unitária
, então
será um autovalor de
.
Passo 1
O enunciado quer mostrar que, se
é autovalor de uma matriz unitária
, então
é autovalor de
. O conteúdo envolvido é teoria de autovalores e a propriedade fundamental de matrizes unitárias, a saber
o que implica
.
Passo 2
Por definição,
ser autovalor de
significa que existe vetor não-nulo
tal que
Além disso, como
é unitária, ela é invertível e portanto
.
Passo 3
Aplicamos
aos dois lados da equação
. Usando
no lado esquerdo e a linearidade no lado direito, obtemos
Passo 4
Da última igualdade vemos que
é autovetor de
associado ao autovalor
. Isso conclui a demonstração.
Resposta
Ficou provado que, se
é autovalor de
, então
é autovalor de
.