5.3.14 Mostre que, se lambda for um autovalor de uma matriz unitária U, então 1lambda será um autovalor de U^*.

Passo 1

O enunciado quer mostrar que, se lambda é autovalor de uma matriz unitária U, então tfrac1lambda é autovalor de U^*. O conteúdo envolvido é teoria de autovalores e a propriedade fundamental de matrizes unitárias, a saber
U^*U = I,
o que implica U^*=U^-1.

Passo 2

Por definição, lambda ser autovalor de U significa que existe vetor não-nulo v tal que
U,v = lambda,v
Além disso, como U é unitária, ela é invertível e portanto lambdaneq0.

Passo 3

Aplicamos U^* aos dois lados da equação U,v=lambda,v. Usando U^*U=I no lado esquerdo e a linearidade no lado direito, obtemos
U^*U,v = U^*(lambda,v) Longrightarrow v = lambda,U^*v Longrightarrow U^*v = 1lambda,v

Passo 4

Da última igualdade vemos que v é autovetor de U^* associado ao autovalor tfrac1lambda. Isso conclui a demonstração.

Resposta

Ficou provado que, se lambda é autovalor de U, então tfrac1lambda é autovalor de U^*.

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