Mostre que toda matriz hermitiana é normal.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que toda matriz hermitiana é normal. O conteúdo aqui envolve operações de matrizes complexas, em particular o conjugado transposto de uma matriz. Para isso, vamos usar as definições de matriz hermitiana e de matriz normal.

Passo 2

Uma matriz A\in\mathbb{C}^{n\times n} é dita hermitiana se
A = A^*,
onde A^* é o conjugado transposto de A.
Uma matriz A é normal se
A\,A^* = A^*\,A.

Passo 3

Se A é hermitiana, então \,A^* = A. Substituindo em ambas as expressões que caracterizam a normalidade, obtemos:
A\,A^* = A\,A = A^2,
A^*\,A = A\,A = A^2.
Como os dois produtos são iguais, concluímos que
A\,A^* = A^*\,A,
ou seja, A é normal.

Resposta

Toda matriz hermitiana é normal.

Exercícios de Livros Relacionados