Mostre que toda matriz hermitiana é normal.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que toda matriz hermitiana é normal. O conteúdo aqui envolve operações de matrizes complexas, em particular o conjugado transposto de uma matriz. Para isso, vamos usar as definições de matriz hermitiana e de matriz normal.
Passo 2
Uma matriz
é dita hermitiana se
onde
é o conjugado transposto de
.
Uma matriz é normal se
Uma matriz
Passo 3
Se
é hermitiana, então
. Substituindo em ambas as expressões que caracterizam a normalidade, obtemos:
Como os dois produtos são iguais, concluímos que
ou seja,
é normal.
Resposta
Toda matriz hermitiana é normal.