Mostre que toda matriz ortogonal real é unitária.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que toda matriz real ortogonal é também unitária. O conteúdo aqui envolve as definições de matriz ortogonal e de matriz unitária, e vamos usar a propriedade de que o conjugado de um número real é ele próprio, o que faz com que a transposta conjugada coincida com a transposta usual.

Passo 2

Lembramos que uma matriz Q\in\mathbb{R}^{n\times n} é dita ortogonal se ela satisfaz
Q^{T}Q = I_n
onde Q^{T} é a transposta de Q e I_n a matriz identidade de ordem n.

Passo 3

Por outro lado, uma matriz U\in\mathbb{C}^{n\times n} é unitária se
U^{*}U = I_n
onde U^{*} é a transposta conjugada de U, ou seja, (U^{*})_{ij} = \overline{U_{ji}}.

Passo 4

No caso de Q ter entradas reais, o conjugado de cada entrada é ele próprio. Portanto, a transposta conjugada de Q coincide com a transposta usual:
Q^{*} = \overline{Q}^{\,T} = Q^{T}.

Passo 5

Substituindo na condição de unitária, observamos que
Q^{*}Q = Q^{T}Q = I_n
que é exatamente a condição de ortogonalidade de Q. Logo, Q satisfaz também a condição de unidade.

Resposta

Como mostramos que Q^{*}Q = I_n, concluímos que toda matriz real ortogonal é unitária.

Exercícios de Livros Relacionados