2.5 Mostre usando o teorema de Dirichlet que se a e r são inteiros primos entre si, então na progressão aritmética de primeiro termo a e razão r existem infinitos números primos. O que acontece quando a e r não são primos entre si?

Passo 1

O exercício pede para mostrar que na progressão aritmética de primeiro termo a e razão r existem infinitos números primos sempre que gcd(a,r)=1, usando o Teorema de Dirichlet sobre progressões aritméticas. Também pergunta o que acontece quando a e r não são primos entre si.

Passo 2

O Teorema de Dirichlet afirma que se a e r são inteiros tais que gcd(a,r)=1, então há infinitos números primos na progressão aritmética
a,;a+r,;a+2r,;a+3r,;dots
Como gcd(a,r)=1, o Teorema garante diretamente que existem infinitos primos entre os termos dessa sequência. A ideia por trás é usar análise complexa e funções L-de Dirichlet para mostrar que a soma dos inversos dos primos em cada classe de resto não converge, de onde vem a infinitude.

Passo 3

Quando a e r não são primos entre si, digamos d=gcd(a,r)>1, então todo termo da progressão
a+n r = dl(tfracad + ntfracrdr)
é divisível por d>1. Logo só pode haver, no máximo, um número primo (se por acaso a=d), mas não infinitos, porque todos os outros termos são compostos.

Resposta

Se gcd(a,r)=1, por Dirichlet há infinitos números primos na progressão. Se gcd(a,r)>1, todos os termos são múltiplos de d=gcd(a,r) e, portanto, não há infinitos primos.

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