2.5 Mostre usando o teorema de Dirichlet que se a e r são inteiros primos entre si, então na progressão aritmética de primeiro termo a e razão
existem infinitos números primos. O que acontece quando a e r não são primos entre si?
Passo 1
O exercício pede para mostrar que na progressão aritmética de primeiro termo
e razão
existem infinitos números primos sempre que
, usando o Teorema de Dirichlet sobre progressões aritméticas. Também pergunta o que acontece quando
e
não são primos entre si.
Passo 2
O Teorema de Dirichlet afirma que se
e
são inteiros tais que
, então há infinitos números primos na progressão aritmética
Como
, o Teorema garante diretamente que existem infinitos primos entre os termos dessa sequência. A ideia por trás é usar análise complexa e funções
-de Dirichlet para mostrar que a soma dos inversos dos primos em cada classe de resto não converge, de onde vem a infinitude.
Passo 3
Quando
e
não são primos entre si, digamos
, então todo termo da progressão
é divisível por
. Logo só pode haver, no máximo, um número primo (se por acaso
), mas não infinitos, porque todos os outros termos são compostos.
Resposta
Se
, por Dirichlet há infinitos números primos na progressão. Se
, todos os termos são múltiplos de
e, portanto, não há infinitos primos.