Ache o valor de x para o qual operador P: R^3 R^3, cuja matriz na base canônica é
[ccc 12 & -12 & 12 -1 & 0 & 1 -12 & -12 & x ]
seja uma projeção.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o valor de x de modo que o operador P: R^3to R^3 com matriz na base canônica
A= tfrac12 & -tfrac12 & tfrac12 -1 & 0 & 1 -tfrac12 & -tfrac12 & x
seja uma projeção. Para resolver, vamos usar teoria de projeções.

Passo 2

Uma projeção é um operador idempotente, ou seja, satisfaz
\mathbf A^2 = \mathbf A..

Passo 3

Analisando a entrada (1,3):
(A^2)13 = tfrac12cdottfrac12 + (-tfrac12)cdot1 + tfrac12cdot x = tfracx2 - tfrac14,
que deve ser igual a A13=tfrac12. Daí
tfracx2 - tfrac14 = tfrac12 implies x = tfrac32
De forma análoga, as entradas (2,3), (3,1) e (3,2) também conduzem a x=tfrac32.

Passo 4

Por fim, a entrada (3,3) dá
(A^2)33 = x^2 - tfrac34,
que igualada a A33=x fornece
x^2 - tfrac34 = x implies x^2 - x - tfrac34 = 0,
cuja solução é x=tfrac32 ou x=-tfrac12. Como as outras equações exigem x=tfrac32, esta é a única consistente com A^2= A.

Resposta

x = tfrac32

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