Ache o valor de
para o qual operador
, cuja matriz na base canônica é
seja uma projeção.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar o valor de
x de modo que o operador
P: R^3to R^3 com matriz na base canônica
seja uma projeção. Para resolver, vamos usar teoria de projeções.
Passo 2
Uma projeção é um operador idempotente, ou seja, satisfaz
\mathbf A^2 = \mathbf A..
Passo 3
Analisando a entrada (1,3):
que deve ser igual a
A13=tfrac12 . Daí
De forma análoga, as entradas (2,3), (3,1) e (3,2) também conduzem a
x=tfrac32 .
Passo 4
Por fim, a entrada (3,3) dá
que igualada a
A33=x fornece
cuja solução é
x=tfrac32 ou
x=-tfrac12 . Como as outras equações exigem
x=tfrac32 , esta é a única consistente com
A^2= A .