Seja a uma matriz
cujos elementos sobre a diagonal e abaixo dela são iguais a zero. Sem fazer nenhum cálculo, conclua que
.
Passo 1
O enunciado dá uma matriz
com todos os elementos na diagonal principal e abaixo dela iguais a zero. O conteúdo aqui é o de matrizes nilpotentes e vamos usar a propriedade de matrizes estritamente triangulares superiores.
Passo 2
Uma matriz estritamente triangular superior é aquela em que
sempre que
. Isso implica que todos os elementos na diagonal são zero e só podem haver entradas possivelmente não nulas acima da diagonal.
Passo 3
Um fato importante (teorema de nilpotência) diz que se
é uma matriz estritamente triangular superior de ordem
, então
. Isso ocorre porque, a cada multiplicação, a “banda” de elementos possivelmente não nulos avança uma diagonal acima, e após
potências não sobra nenhuma posição para esses elementos.
Passo 4
No nosso caso,
, então concluímos sem nenhum cálculo explícito que
.