Seja a uma matriz 5 times 5 cujos elementos sobre a diagonal e abaixo dela são iguais a zero. Sem fazer nenhum cálculo, conclua que a^5=0.

Passo 1

O enunciado dá uma matriz 5times5 com todos os elementos na diagonal principal e abaixo dela iguais a zero. O conteúdo aqui é o de matrizes nilpotentes e vamos usar a propriedade de matrizes estritamente triangulares superiores.

Passo 2

Uma matriz estritamente triangular superior é aquela em que aij=0 sempre que j<= i. Isso implica que todos os elementos na diagonal são zero e só podem haver entradas possivelmente não nulas acima da diagonal.

Passo 3

Um fato importante (teorema de nilpotência) diz que se A é uma matriz estritamente triangular superior de ordem n, então A^n=0. Isso ocorre porque, a cada multiplicação, a “banda” de elementos possivelmente não nulos avança uma diagonal acima, e após n potências não sobra nenhuma posição para esses elementos.

Passo 4

No nosso caso, n=5, então concluímos sem nenhum cálculo explícito que a^5=0.

Resposta

a^5=0

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