Obtenha a decomposição polar da matriz
[ccc raiz2 & 1 & 1 -raiz2 & 1 & 1 0 & 1 & -1 ]

Passo 1

Estamos buscando a decomposição polar de uma matriz real invertível, isto é, escrever A = U,P, onde U é ortogonal ( U^T U = I) e P é simétrica positiva definida ( P = P^T, autovalores positivos). Para isso precisamos calcular P = (A^T A)^1/2 e depois U = A,P^-1.

Passo 2

Primeiro vamos computar A^T A. Sejam as colunas de A definidas por c1 = (raiz2,-raiz2,0)^T, c2=(1,1,1)^T e c3=(1,1,-1)^T. Então
A^T A = c1cdot c1 & c1cdot c2 & c1cdot c3 c2cdot c1 & c2cdot c2 & c2cdot c3 c3cdot c1 & c3cdot c2 & c3cdot c3 = 4 & 0 & 0 0 & 3 & 1 0 & 1 & 3

Passo 3

Agora precisamos da raiz quadrada positiva de A^T A. Observamos que é um bloco direto de ordem 1 e 2. A raiz quadrada de [4] é [2], e para o bloco B = 3 & 11 & 3 diagonalizamos: os autovalores de B são 4 e 2, com raízes 2 e raiz2. Projetando de volta, obtemos
P = (A^T A)^1/2 = 2 & 0 & 0[6pt]0 & 2+raiz22 & 2-raiz22[6pt]0 & 2-raiz22 & 2+raiz22,
]

Passo 4

Finalmente calculamos U = A,P^-1. Como P tem estrutura semelhante, seu inverso em bloco também é fácil de obter. O produto leva às colunas de U como vetores ortonormais:
tfracraiz22 & tfrac12 & tfrac12 -tfracraiz22 & tfrac12 & tfrac12 0 & tfracraiz22 & -tfracraiz22

Passo 5

Agora U é ortogonal ( U^TU=I) e P é simétrica positiva, confirmando a decomposição polar A=UP.

Resposta

U=tfracraiz22 & tfrac12 & tfrac12 -tfracraiz22 & tfrac12 & tfrac12 0 & tfracraiz22 & -tfracraiz22, P=2 & 0 & 0 0 & tfrac2+raiz22 & tfrac2-raiz22 0 & tfrac2-raiz22 & tfrac2+raiz22

Exercícios de Livros Relacionados