Estamos buscando a decomposição polar de uma matriz real invertível, isto é, escrever A = U,P, onde U é ortogonal (U^T U = I) e P é simétrica positiva definida (P = P^T, autovalores positivos). Para isso precisamos calcular P = (A^T A)^1/2 e depois U = A,P^-1.
Passo 2
Primeiro vamos computar A^T A. Sejam as colunas de A definidas por c1 = (raiz2,-raiz2,0)^T, c2=(1,1,1)^T e c3=(1,1,-1)^T. Então
Agora precisamos da raiz quadrada positiva de A^T A. Observamos que é um bloco direto de ordem 1 e 2. A raiz quadrada de [4] é [2], e para o bloco B = 3 & 11 & 3 diagonalizamos: os autovalores de B são 4 e 2, com raízes 2 e raiz2. Projetando de volta, obtemos
Finalmente calculamos U = A,P^-1. Como P tem estrutura semelhante, seu inverso em bloco também é fácil de obter. O produto leva às colunas de U como vetores ortonormais: