Seja
um operador linear invertível que preserva ângulos, isto é
quando
e
. Prove que
transforma vetores ortogonais de mesmo comprimento em vetores ortogonais de igual comprimento. Conclua que
é uma semelhança.
Passo 1
O exercício diz que S é um operador linear invertível em um espaço pré-hilbertiano E que preserva ângulos, ou seja, para todo par de vetores não-nulos u,v temos
Precisamos mostrar que, se u e v são ortogonais com |u|=|v|, então Su e Sv também são ortogonais com comprimentos iguais, e em seguida concluir que S é uma semelhança (isto é, um escalar λ>0 vezes um operador ortogonal).
Passo 2
Para provar que S manda vetores ortogonais em vetores ortogonais, tome u,v≠0 com
. Então o cosseno do ângulo entre u e v é zero, e pela preservação de ângulo
logo
. Portanto Su ⟂ Sv.
Passo 3
Agora provamos que vetores de mesmo comprimento são enviados para vetores de mesmo comprimento. Se |u|=|v| então
portanto u+v ⟂ u−v. Pelo passo anterior, S(u+v) ⟂ S(u−v), ou seja,
Expandindo a bilinearidade do produto interno,
e segue que |S u|=|S v|.
Passo 4
Agora escolhemos uma base ortonormal
de E. Pelos passos anteriores,
é uma base ortogonal cujos vetores têm todos o mesmo comprimento, digamos
. Ou seja,
Defina R em cada e_i por
e estenda por linearidade. Então R é um operador ortogonal (preserva produto interno) e S=
.
Passo 5
Como S=λR com R ortogonal e λ>0, temos para todo u,v em E que
e
Isso mostra que S é uma semelhança.
Resposta
S é uma semelhança: existe λ>0 e operador ortogonal R tais que S=λR, logo |Su|=λ|u| e ⟨Su,Sv⟩=λ²⟨u,v⟩ para todo u,v.