Seja S: E E um operador linear invertível que preserva ângulos, isto é
lang<= S u, S vrang<=|S u||S v|=lang<= u, vrang<=|u||v|
quando u neq 0 e v neq 0. Prove que S transforma vetores ortogonais de mesmo comprimento em vetores ortogonais de igual comprimento. Conclua que S é uma semelhança.

Passo 1

O exercício diz que S é um operador linear invertível em um espaço pré-hilbertiano E que preserva ângulos, ou seja, para todo par de vetores não-nulos u,v temos
lang<= S u, S vrang<=|S u|,|S v|=lang<= u, vrang<=|u|,|v|
Precisamos mostrar que, se u e v são ortogonais com |u|=|v|, então Su e Sv também são ortogonais com comprimentos iguais, e em seguida concluir que S é uma semelhança (isto é, um escalar λ>0 vezes um operador ortogonal).

Passo 2

Para provar que S manda vetores ortogonais em vetores ortogonais, tome u,v≠0 com lang<= u,vrang<==0. Então o cosseno do ângulo entre u e v é zero, e pela preservação de ângulo
lang<= S u, S vrang<=|S u|,|S v|=0
logo lang<= S u, S vrang<==0. Portanto Su ⟂ Sv.

Passo 3

Agora provamos que vetores de mesmo comprimento são enviados para vetores de mesmo comprimento. Se |u|=|v| então
lang<= u+v,,u-vrang<==|u|^2-|v|^2=0,
portanto u+v ⟂ u−v. Pelo passo anterior, S(u+v) ⟂ S(u−v), ou seja,
lang<= S u+S v,,S u-S vrang<==0
Expandindo a bilinearidade do produto interno,
|S u|^2 - |S v|^2=0
e segue que |S u|=|S v|.

Passo 4

Agora escolhemos uma base ortonormal e1,dots,en de E. Pelos passos anteriores, S ei é uma base ortogonal cujos vetores têm todos o mesmo comprimento, digamos lambda>0. Ou seja,
|S ei|=lambdapara todo i
Defina R em cada e_i por
R(ei)=1lambdaS(ei)
e estenda por linearidade. Então R é um operador ortogonal (preserva produto interno) e S= lambda R.

Passo 5

Como S=λR com R ortogonal e λ>0, temos para todo u,v em E que
lang<= S u, S vrang<==lambda^2lang<= R u, R vrang<==lambda^2lang<= u, vrang<=
e
|S u|=lambda|u|
Isso mostra que S é uma semelhança.

Resposta

S é uma semelhança: existe λ>0 e operador ortogonal R tais que S=λR, logo |Su|=λ|u| e ⟨Su,Sv⟩=λ²⟨u,v⟩ para todo u,v.

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