Seja A: R^3 R^3 dado por A(x, y, z)=(2 x+3 y-6 z, 6 x+ 2 y+3 z,-3 x+6 y+2 z). Mostre que A é uma semelhança de razão 7. Sabe-se que ou existe v in R^3 com A v=7 v ou existe w in R^3 com A w=-7 w. Ache um autovetor de A, complete-o de modo a obter uma base ortonormal de R^3 e determine a matriz do operador A nesta base.

Passo 1

O enunciado define um operador linear A em R^3 por A(x,y,z) = (2x+3y-6z, 6x+2y+3z, -3x+6y+2z). Precisamos mostrar que A é uma semelhança de razão 7 (isto é, A=7Q com Q ortogonal), encontrar um autovetor real de A com valor próprio ±7, completar com uma base ortonormal e escrever a matriz de A nesta base.

Passo 2

Escrevemos a matriz de A na base canônica:
M=2 &3 &-66 &2 &3-3 &6 &2
Calculamos M^T M: cada diagonal é 49 e todos os off-diagonais são 0, logo
M^T M=49I3
Isto mostra que Q= A/7 é ortogonal, portanto A é semelhança de razão 7.

Passo 3

Como Q é ortogonal com det Q=det M/7^3=-343/343=-1, existe exatamente um autovalor real = -1. Logo há w≠0 com A w=-7w. Para achar w, resolvemos (M+7I)w=0:
(M+7I)=9 &3 &-66 &9 &3-3 &6 &9
Das equações obtemos w proporcional a (1, -1, 1).

Passo 4

Normalizamos w e escolhemos dois vetores ortogonais a w para formar base ortonormal. Por exemplo:
w1=1raiz3(1,-1,1), u1=1raiz2(1,0,-1), u2=1raiz6(1,2,1)
Verifica-se que u1,u2,w1 é ortonormal.

Passo 5

Na base B=u1,u2,w1, A=7Q e Q restringe-se ao plano ortogonal a w_1 como rotação de ângulo θ com cosθ=13/14 e sinθ=3raiz3/14, e em w_1 age como reflexão (valor -1). Assim a matriz de A em B é:
A B=7cosθ & -7sinθ & 07sinθ & 7cosθ & 00 & 0 & -7 = 132 & -3raiz32 & 0[6pt]3raiz32 & 132 & 0[6pt]0 & 0 & -7
]

Resposta

A base ortonormal escolhida é
u1=1raiz2(1,0,-1), u2=1raiz6(1,2,1), w1=1raiz3(1,-1,1)
Na base B=u1,u2,w1 a matriz de A fica
A B=tfrac132 & -tfrac3raiz32 & 0[4pt]tfrac3raiz32 & tfrac132 & 0[4pt]0 & 0 & -7,
mostrando que A é semelhança de razão 7.]

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