Seja dado por . Mostre que é uma semelhança de razão 7. Sabe-se que ou existe com ou existe . Ache um autovetor de , complete-o de modo a obter uma base ortonormal de e determine a matriz do operador A nesta base.
Passo 1
O enunciado define um operador linear A em R^3 por A(x,y,z) = (2x+3y-6z, 6x+2y+3z, -3x+6y+2z). Precisamos mostrar que A é uma semelhança de razão 7 (isto é, A=7Q com Q ortogonal), encontrar um autovetor real de A com valor próprio ±7, completar com uma base ortonormal e escrever a matriz de A nesta base.
Passo 2
Escrevemos a matriz de A na base canônica:
Calculamos M^T M: cada diagonal é 49 e todos os off-diagonais são 0, logo
M^T M=49I3
Isto mostra que Q= A/7 é ortogonal, portanto A é semelhança de razão 7.
Passo 3
Como Q é ortogonal com det Q=det M/7^3=-343/343=-1, existe exatamente um autovalor real = -1. Logo há w≠0 com A w=-7w. Para achar w, resolvemos (M+7I)w=0:
(M+7I)=9 &3 &-66 &9 &3-3 &6 &9
Das equações obtemos w proporcional a (1, -1, 1).
Passo 4
Normalizamos w e escolhemos dois vetores ortogonais a w para formar base ortonormal. Por exemplo:
Na base B=u1,u2,w1, A=7Q e Q restringe-se ao plano ortogonal a w_1 como rotação de ângulo θ com cosθ=13/14 e sinθ=3raiz3/14, e em w_1 age como reflexão (valor -1). Assim a matriz de A em B é: